MIT 18.06 linear algebra 第三十二讲笔记

MIT 18.06 linear algebra 第三十二讲笔记

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• Change of basis
• Compression of Images
• Transformation$\leftrightarrow$Matrix

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这一课主要是讲了一些关于信号图像压缩的知识。

假设现在有一幅图是$512\times 512$个像素的灰度图。这幅图可以表示为$521^2\times 1$的一个向量。对于这幅图我们可以将其划分为$64\times 64$的小方块，每个小方块中有$8\times 8$一共64个像素点。这样我们就可以选取8个不相关的向量作为基底，来表示这$8\times 8$像素矩阵的每一列。其中最为常用的基底有傅里叶，小波变换。

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图像或者信号压缩的过程

那么压缩后的信号为$\hat{C}=\sum {\hat{c_i}}v_i$

在前面的基变换过程中,假设$p$是输入信号，$p=c_1w_1+\cdots+c_8w_8$,因此有$p=W\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_8\end{bmatrix}$,那么$c=W^{-1}p$，$c$就是基变换后的坐标。
一个好的基底有以下要求：

1. Fast,运算速度快，像基向量中只含有0，1的话，计算机计算的速度就很快。
2. 求逆方便，如果是标准正交基，那么逆就是矩阵的转置。
3. 良好的压缩性。这意味着$c$中有很多0，但是它可以凭借着少量的向量就可以重现图像。

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假设对于一个线性变换，如投影，旋转45度，现在有一组基$v_1,\cdots,v_8$,就这个基底它所对应的线性变换矩阵为$A$。现在还有另外一组基$w_1,\cdots,w_8$，对于线性变换对应的矩阵为$B$，这两个矩阵$A$与$B$之间有什么关系？
矩阵$A$和$B$是相似的，基$B=M^{-1}AM$。教授这块讲的十分简略。