MIT 18.06 linear algebra 第三十五讲笔记

MIT 18.06 linear algebra 第三十五讲笔记

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第三十五讲是MIT 18.06 linear algebra的最后一讲，主要是对前面的知识的一个复习。

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例题：
给出一个$m\times n$矩阵$A$，满足$Ax=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$没有解，$Ax=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$只有一个解。

• 从题干中我们可以得到矩阵的$m,n,r$是多少？
  因为$Ax=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$没有解$\Rightarrow r<m$。
  从$Ax=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$只有一个解$\Rightarrow N(A)=\{0\}\Rightarrow r=n$,首先$Ax=b$有一个解，如果$N(A)\neq \{0\}$,那么加上$Ax=0$的解就会有无数多个解。即推出$r=n<m$。

判断：

1. $det(A^TA)=det(AA^T)$ ？一个可逆，一个不可逆因此不等
2. $A^TA$是可逆的吗？ 是可逆的，因为矩阵$A$的列向量线性无关。
3. $AA^T$是正定的吗？ 不是正定的，因为$AA^T$是不可逆的。$AA^T$是半正定的。

证明：$A^Ty=c$对于每个$c$都至少有一个解。
因为$A^T$是$n\times m$的，因为$r=n$，因此行满秩。因此会有解存在。
证明：事实上对于$A^Ty=c$对于每个$c$都无数个解.
$dim(N(A^T))=m-r>0$因此有无数多个解。

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矩阵$A=\begin{bmatrix}v_1&v_2&v_3\end{bmatrix}$
(a)假设$Ax=v_1-v_2+v_3=0$,那么解不唯一？
从上面可知，矩阵$A$的列向量线性相关。因此$N(A)\neq\{0\}$，比如$\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}$就在$N(A)$中。
(b)如果$v_1,v_2,v_3$是标准正交的，那么怎么样的$v_1,v_2$组合能最接近$v_3$。因为这三个向量是标准正交的，因此，$0v_1+0v_2$是最接近$v_3$的。

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有马尔科夫矩阵$A=\begin{bmatrix}02&0.4&0.3\\0.4&0.2&0.3\\0.4&0.4&0.4\end{bmatrix}$。
可以看出$col_1+col_2=2col_3$，得知矩阵的特征值为0（因为行列式为0），1(因为马尔科夫矩阵)，-0.2（因为特征值之和等于矩阵的迹）。$U_k=A^kU_0$,其中$U_0=\begin{bmatrix}0\\10\\0\end{bmatrix}$。根据前面的知识可以写为$U_k=c_1\lambda_1^{k}x_1+c_2\lambda_2^{k}x_2+c_3\lambda_3^{k}x_3$。
那么$U_{\infty}=c_2x_2$。

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特征值为0,对应的特征向量为$\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$,特征值为3对应的特征向量为$\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$。求这个$2\times 2$的矩阵。
可以通过$A=S\Lambda S^{-1}$来解。

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对于任何矩阵$B$,矩阵$A$满足$A\neq B^TB$，且矩阵$A$的特征向量是正交的，矩阵$A$是个怎么样的矩阵？
可知矩阵是个非对称的矩阵，由于其特征向量是正交的，那么矩阵$A$可以使反对称矩阵，标准正交矩阵。比如$\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix}cos&-sin\\sin&cos\end{bmatrix}$,它们的特征向量是复数域上的正交特征向量组。

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最小二乘

$\begin{bmatrix}1&0\\1&1\\1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\4\\1\end{bmatrix}$,可以得到$\begin{bmatrix}\hat{c}\\\hat{d}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{11}{3}\\-1\end{bmatrix}$。
请问：向量$b$投影到矩阵$A$的列空间上式什么？
所谓最小二乘，就是在既定平面中找到一条距离$b$最近的直线，上面我们求出的最佳的$\begin{bmatrix}\hat{c}\\\hat{d}\end{bmatrix}$,矩阵$A$乘以它，就是投影的结果。即为$\frac{11}{3}col_1-col_2$。

找到另一个非零向量$b$使得最小二乘的结果为$\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$。即求得的$\begin{bmatrix}\hat{c}\\\hat{d}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$,这意味着$b$要正交前两个列向量。$b=\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}$。

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