Abstract
本文演示了分形随机过程模型及其相关缩放参数作为高分辨率极化合成孔径雷达 (SAR) 图像中杂波分析和分割特征的应用。具体来说，计算草和树等自然杂波源的分形维数并将其用作贝叶斯分类器的纹理特征。使用原始后向散射功率作为判别式以单独的方式分割 SAR 阴影。所提出的分割过程为本研究中考虑的场景生成了一个三类分割图（具有三种杂波类型：阴影、树木和草地）。还解决了在高散斑 SAR 图像中计算纹理度量的困难。特别是，使用了一种两步预处理方法，包括极化最小散斑过滤和非相干空间平均。生成的分割图与恒定虚警率 (CFAR) 雷达目标的相关性 还讨论了检测技术。
Introduction
纹理杂波的表征和建模对于自动目标识别（ATR）算法的性能、传感器武器平台以及其他远程感知系统的性能至关重要，这些系统要么由人类控制，要么能够在复杂的自然环境中实现自主操作。ATR算法的一个标准目标是量化和建模背景杂波，以更好地了解其与嵌入目标的相互作用。近年来，利用分形几何导出的度量对自然纹理的分析得到了进一步发展。基于分形的图像纹理描述已经在自然视觉图像的表征和分割方面得到了有效应用。分形维度已被用于基本图像分析，例如纹理分割、形状由纹理导出以及医学图像增强和分类。许多自然形态，如地形、植被和云，表现出尺度有限的分形特性。这些特性促使研究人员采用分形度量来量化和描述这些特性，例如金属表面的表面粗糙度、云的形状和结构以及植被和自然地形的自相似纹理。
特别是，分形维度等度量提供了衡量尺度不变自然形态的“粗糙度”或“不规则度”的准确度量。在先前的论文中，作者已经使用本地分形维度对红外（IR）图像中的杂波进行了分析和分割。本文将本地分形维度估计技术应用于合成孔径雷达（SAR）数据，以及与高斑点SAR图像的分形处理所需的算法修改。
SAR图像不同区域的分形维度是纹理的度量，即各区域散射的空间相关性质的度量。各种研究人员已经利用SAR图像的分形维度（例如[8]、[9]和[10]）。这个分割过程至少有三个潜在的实用性：
1）提高自适应恒虚警率（CFAR）算法的性能。
2）找到杂波边界，以帮助智能搜索算法。
3）区分人工扩展目标和自然物体。
所有这些都有助于自动SAR解释能力。
适应性CFAR算法用于合成孔径雷达（SAR）时，定义了一个本地域来估计杂波单像素统计量，通常是均值和方差。根据估计域的大小存在一个权衡。本地处理窗口越大，估计结果的统计可靠性就越高；但同时，窗口也更有可能遇到数据的非平稳性，即跨越了多个杂波类型，例如草和树，边缘将被模糊而不是被检测到。当寻找时间关键目标（TCT）时，这是一个特别重要的问题，因为树线是一个可能的位置。在这种情况下，CFAR窗口很可能包含草和树，以及可能的阴影。通过使用例如分形维度对图像进行预分割，可以获得更可靠的杂波统计量估计，从而提高CFAR算法的性能。Posner和Crooks已经证明，基于分段数据的修改检测算法可以实现使用接近杂波边界的任一均质区域的统计量或者适当加权的两个区域的统计量，从而避免了使用未区分的杂波混合物所产生的失灵问题。
预分割还可用于提示智能搜索算法关注潜在目标高发区，例如林线等。对于试图躲避侦察的移动目标，杂波类型的边界是有吸引力的藏身之地。这些边界可以包括林线、涵洞或其他地形不连续处。在 SAR 中检测林线处的目标是非常有趣的问题，因为来自树后的遮挡、来自开放方向的树冠遮挡以及影响来自任何方向的检测处理的不均匀性。通过预分割图像，可以确定边界，并将可能的目标藏匿之处分配更多的监视资源。
最后，当目标涵盖大量像素时，分形维度可以用作将其与杂波区分开的特征。MIT林肯实验室的研究人员已经表明，高分辨率SAR图像中的人造和自然目标具有不同的分形维度[9]。
FRACTAL MODELSFOR IMAGE ANALYS
对于自然形式的随机但受约束的不规则性，合适的数学模型是分数布朗运动 (fBm) [12]、[13]。最近，这种模型在计算机模拟自然杂波方面发挥了重要作用，通过产生最真实的自然现象模拟，如地质地形、植被和云。除了它们自然的审美吸引力外，分数布朗模型在建立物理上可信的模型以分析工程和物理过程方面也非常重要。特别是，fBm模型为在各种自然环境成像传感器产品中分析和描述比例不变的随机纹理和无定形杂波提供了数学框架。Datcu [101] 最近证明了一种用于合成SAR图像的fBm模型。
具体来说，分数布朗运动表面函数V(z,y)由满足以下条件的零均值高斯增量所描述：
其中0 < H < 1 是所谓的持续性参数，控制着表面的“粗糙程度”，其中H = 1 对应平滑表面，H = 0 对应非常粗糙的纹理。由于在全局上是平稳和各向同性的，均方增量仅依赖于位移向量，并且在整个表面上呈现相同的幂律关系。.表征此随机过程的另一种方法是通过遵循以下形式的广义功率谱密度 (PSD) 的随机相位傅里叶变换描述：
其中频谱衰减由频谱指数 ß 所描述。由于布朗运动是一个非平稳随机过程，它的功率谱密度在形式上是未定义的；然而，Flandrin [14]为布朗运动提供了广义PSD的分析框架。分形维数D、持续性参数H和频谱指数p之间存在关系:
一般来说，n维分数布朗运动V(x1,x2 x3,...,xn,)的遍历性质由满足幂律的零均值高斯增量：
并且具有傅里叶变换，其中随机相位均匀分布于[0, 2π]，并服从以下谱分布：
这样一个函数在一个维数为DT = n的拓扑空间中，例如，表面函数的DT = 2，体积分布的DT = 3等。在一个欧几里得空间中，其维数为DE = DT + 1 = n + 1。通过拓扑和欧几里得维数，分形维数可以表示为：
在图像纹理模型中，我们仅考虑二维分数布朗运动，即DT=2和DE=3。根据以上定义，我们可以得出，对于这种随机过程，知道任何一个缩放参数（H或ß）都可以计算其分形维度。大多数分形维度的测量技术都是基于估计上述任意一个缩放参数。
MEASUREMENTS OF FRACTAL DWNSION
各种算法已被设计用于测量图像纹理表面的分形维度。这些算法通常可以分为三类。第一种方法是基于分形的点集拓扑结构，例如豪斯多夫或容量维度。由于在该技术中，我们测量大小为L的分辨率单元内的分形表面的“质量”，表示为M(L)，并假设其缩放为M(L) \propto ( L^D,，则我们将此技术称为质量缩放算法。例如，Peleg等人[4]和Keller等人[3]就使用了这种方法。第二种方法是方差缩放法，它依赖于式（1）中给出的均方差分布的幂律缩放。通过将均方偏差的期望值与长度尺度（位移）相关联，可以使用对数最小二乘技术估计D。 Medioni和Yasumoto [15]的一篇论文中提供了以二阶像素统计为基础的方差缩放实现的示例。最后，可以通过（2）给出的功率谱的对数最小二乘拟合来获得D的值。这种算法称为功率谱密度方法，它使用此回归的斜率来得出频谱衰减指数β，然后根据（4）来计算分形维度。这三种算法之间的权衡将在下面更详细地讨论。
这里讨论的第一个算法是一种通用的技术，用于表征一组点的质量尺度特性。基本的数学关系是描述半径的质量函数的同次幂律
其中，D表示集合的有效质量维数。对于普通的欧几里得对象，指数D对应于集合的拓扑维数。然而，分形集合的指数D超过了它们的拓扑维数。对于数字表面，该算法包括通过简单地计算落在边长为R的立方体中的点数N来测量点(z,y,f(z,y))的局部维数。由于测量是局部的，这个计数过程被限制在点的附近。因此，使用一个宽度为2n 1的滑动窗口来检查（2n 1）-1个邻居，并计算它们中有多少个落在以点（2,y）为中心的边长为R=1,2,...,n的立方体中。作为半径的函数的点数N(R)现在是“质量”的一个估计。然后可以通过对log(N)与log(R)进行线性回归来确定比例指数D。这种方法与Keller等人[3]实现的算法非常相似。
这种质量尺度算法完全是通用的，也有可能通过一个特定的模型来表征 N 维随机过程的分形维度。如上所述，一个有用的数学模型是分数布朗运动（fractional Brownian motion，fBm）[12]。该随机过程的定义特征是它的功率谱密度符合 (2) 中定义的唯一的幂律关系，而且它的平方均值增量（delta variance）符合 (1) 中定义的唯一的幂律关系。这个随机过程的分形维度由关系式 D = DT 1- H 给出，其中 DT 是集合的拓扑维度。
Pentland [2]提出使用局部图像功率谱来逐点估计分形维度。他使用8x8像素的窗口计算离散二维功率谱，并用于获取谱指数和相应的分形维度。假设为各向同性的fBm表面，在离散傅里叶平面中沿两个正交方向计算l o g [ P ( f ) ]与l o g ( f )的线性回归，然后取平均值。Moghaddam等人 [6]，[7]使用了这个算法的改进版本，通过计算径向空间频率的总谱能量并执行加权最小二乘拟合来获得对于可能表现出轻微各向异性但保持整体全向尺度特性的表面的更准确测量。
如上所述，估计fBm过程的分形维数的关键在于获得良好的缩放参数H的估计值。因此，（1）中的增量方差关系同样有助于计算D的估计值。这种技术已被许多研究人员使用，包括陈等人[5]。作为局部分形维度的度量，计算仅限于中心在当前像素的滑动窗口内的所有像素间强度增量对。所有T值的增量方差V(T)的平均值可以用于使用对数回归对log[V(r)]与log(r)进行估计H。
COMPARISON OF ALGORITHMS
该之前的一项研究中 [16]，通过对合成fBm表面进行标准化测试，获得了上述算法的数量精度、一致性和计算复杂性的定量度量。使用傅立叶滤波技术 [17] 生成了一系列256×256的空间各向同性的合成fBm表面，其维数范围从2.0到3.0。对于每个表面，使用9×9的滑动窗口计算了局部分形维数，每个测试表面得到了61,504个局部测量值。然后将这些测量值的平均值视为分形维数的估计值。
测量值的标准偏差被视为均匀性的度量，因为对于均匀表面，测量值应该非常接近。关于真实均值（即测试表面的已知维数）的标准偏差被视为误差标准差的度量。所得结果列在表1-3中。
图1显示了所有三种方法的局部分形维数均值作为真实维数的函数。如图所示，理想的算法应该产生一条对角线，即一个恒等映射。图2显示了三种方法的测量误差的标准偏差。理想情况下，这些误差曲线应该在2.0到3.0的维数范围内尽可能小且平坦。
本文还需要考察每个算法的计算复杂度。质量缩放方法是最快的技术，需要大约N^2次比较，一个N/2元素的最小二乘拟合，其中N是窗口大小，因此本质上是一个算术O(N2)算法。功率谱技术自然需要二维傅里叶变换，当N是2的幂时，可以通过使用快速傅里叶变换来加速算法，即O(N2log N)乘法复杂度。此外，对于一个9x9的窗口，最小二乘功率谱拟合中存在14个不同的径向空间频率。由于奇数大小的N有助于居中窗口，因此我们可以普遍认为功率谱技术的计算复杂度是O(N2)乘法复杂度。迄今为止，最耗费计算资源的算法是delta-variance方法，它必须计算所有N2(N2 - 1)/2个可能的像素对的灰度平方差，因此是一个O(N4)算法。为了减少计算成本，可以用绝对值差替代平方差，但算法仍然非常耗时。表4显示了这三种算法在256x256图像上使用9x9窗口的执行时间。这些算法是在MIPS C编译器上编码和优化的，并在DEC3100 RISC工作站上运行。
根据表1-3的结果，就准确性而言，功率谱方法表现最佳，平均误差最小（0.026），平均误差标准差也最小（0.233）。如图1所示，它也是唯一一个响应曲线与理想对角线密切匹配的方法。方差法表现稍好一些，平均均匀性更好（0.208），但倾向于偏离对角线，如图1所示。它的平均标准差（0.234）与功率谱法（0.233）基本相同。这两种算法在维度范围内都呈现出固定的误差响应，如图2所示。然而，质量标度算法的表现相当差。它的平均均匀性（0.314）和平均标准差（0.364）都相当大，如图1所示，它的维度曲线偏离对角线的程度最大。这种算法的一个特定缺点是，在高表面维度下，误差会越来越大，如图2所示。然而，这种现象可以通过考虑以下事实来理解，即由单值函数f(z,y)表示的任何表面都无法真正逼近三维或近似三维的集合，而这恰恰是质量标度方法试图测量的属性。因此，得到的维度 tend to saturate near a value of 2.5 or 2.6. 类似的效应也被Keller等人[3]报道过，他们的结果表明，使用线性表面插值来补偿这种限制。
表4中的执行时间表明，尽管精度较差，但质量缩放方法是最快的算法，这符合其作为一种计数操作的固有简单性。功率谱方法具有平均的时间性能，但可以产生非常准确的测量结果。方差方法具有最差的时间性能，并且精度不令人满意。实验结果因此表明，功率谱技术是测量局部分形维度的良好估计算法。不可否认，它的卓越性能可能部分归功于其与生成测试表面所使用的傅里叶滤波技术的密切关系。Moghaddam[18]在图像分割方面提供了更详细的各种估计技术的调查，包括算法增强、数值精度和计算成本等方面。
工分割测试的树像素与草像素的可分性。如图3所示的结果清楚地证明了PSD方法在这个应用中的优越性。在本文的剩余部分，只讨论PSD方法。
Pentland [2]已经使用功率谱方法来计算数字图像中自然纹理的局部分形维度。为了测量局部图像窗口的谱衰减指数p，首先使用离散傅里叶变换等方法计算功率谱。然后可以通过最小二乘拟合计算特征谱指数，即log(P)与log(f)之间的关系。对于各向同性表面，可以通过计算一个径向方向的空间频率能量衰减，或者通过平均计算在多个径向方向上计算的指数来获得指数。由于傅里叶平面中的方向对应于原始图像中的方向，因此可以使用各种方向上的p的测量来表征各向异性表面，这些表面在不同方向上可能表现出不同的分形维度。事实上，Pentland使用沿两个正交方向（z和y）的p的测量作为Brodatz纹理分类的特征向量。
上述频谱技术被作者改进以提高局部分形维数的测量精度，最初在Moghaddam等人的文章中描述[6]。具体而言，我们注意到，即使在真正各向同性的纹理情况下，局部窗口也可能是各向异性的，这取决于各种因素，如照明方向、自阴影或仅仅是由于局部窗口内的纹理样本的有限性质。因此，沿一个或两个径向方向的测量可能会在总体空间频率能量分布方面产生误导或不准确。通过对给定径向空间频率f的功率P（f）在整个频率平面上进行积分，可以获得更完整的测量。此外，可以补偿离散傅里叶变换中不是所有径向频率都出现的事实。因此，所提出的算法计算总能量作为径向空间频率的函数的全局测量值。这个函数的对数导数通过加权最小二乘法导出，然后将得到一个改进的估计值β和D。请注意，此过程比简单地对所有径向方向的指数进行平均要准确得多，并且仅需要进行一次回归分析。当用于分割目的时，算法使用重叠或滑动窗口以获得高分辨率的纹理地图。因此，生成的分形纹理图中的每个像素都代表其局部邻域的估计分形维数。