机器人与视觉——李群与李代数，李括号性质的分析与证明

1. 本文重点描述李群(Lie Group)与李代数(Lie Algebra)的相关定义与性质。
2. 群（Group）是一种集合加一种运算组成的结构。
3. 从李群，推导出李代数，得到了李代数是李群在单位元处的正切空间(Tangent Space)的概念。
4. 随后，证明了三维向量上李括号的性质，即两个三维向量的李括号是李代数。

如果需要看另一种描述方法，另一种描述观点，通过相机的移动，来表达场景。如何构造SLAM移动场景的坐标表示，采用李群与李代数，来进行矩阵的操作。请看另外一篇博文：李群与李代数对SLAM移动场景的运动坐标表示。

1. 群的概念

1.1 特殊正交群S0(3)与特殊欧式群SE(3).

1.2 李群与李代数

2. 李代数的性质与证明

2.1 李代数的定义

2.2 李括号的定义

1. 这里面需要注意的是，每个$\mathbf{\varphi }=[{\varphi }_1,{\varphi }_2,{\varphi }_3{]}^T$ 生成的反对称矩阵记为$\Phi$，Note：($\wedge$ 代表反对称矩阵，skew matrix)。

$$\Phi ={\mathbf{\varphi }}^{\wedge }=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\varphi }_3& {\varphi }_2\\ {\varphi }_3& 0& -{\varphi }_1\\ -{\varphi }_2& {\varphi }_1& 0\end{array}\right]$$

2. so(3)的李括号为：$[{\mathbf{\varphi }}_1,{\mathbf{\varphi }}_2]=({\Phi }_1{\Phi }_2-{\Phi }_2{\Phi }_1{)}^{\vee }$。Note：($\vee$ 代表反对称矩阵转换回向量形式)。
   

2.3 三维向量${\mathbb{R}}^3$上定义叉积$\times$是一种李括号的证明

有些参考材料上，写的是两个二维向量的李括号是李代数的证明。

2.3.1 封闭性

2.3.2 双线性

2.3.3 自反性

2.3.4 雅可比等价性

2.4 SO(3)对应的李代数so(3)与SE(3)对应的李代数se(3)

我们在下一章会介绍和推导指数映射和对数映射，如何从SO(3)的旋转矩阵R来求出对应的李代数so(3)。更多的内容，指数映射，与对数映射，相机位姿的变换，对场景目标点的作用，如何连续构造变换矩阵，表征场景/相机的运动。请阅读另一篇博文：李群与李代数对SLAM移动场景的运动坐标表示。

有关李代数与李群的一些数学细节证明，在这篇文章中给出描述：《SLAM十四讲》第四讲 李群与李代数 习题5证明。