第4讲 李群和李代数

什么是群？什么是李群？

群是一种集合加上一种运算的代数结构。我们把集合记为，运算记为“  ”，那么群可以被记作：G=(，)。群要求这个运算必须满足以下几个条件：

1. 封闭性：，
2. 结合律：，
3. 存在幺元：，使得，都有
4. 存在逆：，，使得

常见的群有：特殊正交群，特殊欧式群，它们都对矩阵乘法构成群。

如果对上一讲的内容有印象的话，会回忆起来：

1. 三维旋转矩阵构成了特殊正交群
2. 变换矩阵构成了特殊欧式群

和对矩阵乘法都是封闭的，矩阵乘法对应着旋转或变换的复合，两个旋转矩阵相乘表示做了两次旋转、两个变换矩阵相乘表示做了两次欧式变换。

那么，什么是李群呢？

李群，是指具有连续（光滑）性质的群。

什么是具有连续性质的群？看一下这个例子：显然整数和整数的加法构成了一个群（，+），但是这是一个离散的群，因为中间有很多的数都取不到。

和在实数空间上是连续的，所以它们是李群。我们也可以直接直观的想象出来，和都是描述刚体在空间中的运动的，而刚体在空间中的运动肯定是连续的，所以它们是李群。

什么是李代数？

每个李群都有对应的李代数。李代数描述了李群的局部性质。

李代数的定义如下：李代数由一个集合，一个数域和一个二元  运算组成，如果它们满足以下性质，则成为一个李代数，记作。

1. 封闭性：
2. 双线性：
3. 自反性：
4. 雅可比等价：

其中李代数中的二元运算称为李括号。

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李群和李代数的关系

考虑任意一个旋转矩阵，它满足：

因为表达的是相机的旋转，它会随时间连续的变化，即为时间的函数：

但是仍然是旋转矩阵，则有：

等式的两边同时对时间进行求导，得到：

整理得到：

由反对称的定义可知：是一个反对称矩阵。

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先回忆一下之前的知识：

       在介绍向量的叉积，引入了符号，将一个向量映射成一个反对称矩阵。

       同理，对于任意一个反对称矩阵，我们也可以找到一个向量，与之对应，我们把这个运算用表示。

用数学公式就可以表达为：

,

---

于是，由于是一个反对称矩阵，于是可以找到一个三维向量与之对应，即：

等式两边同时右乘，由于正交，于是有：，

可以看到，每对旋转矩阵求一次导数，就相当于对它左乘一个

为方便讨论，我们设，并设此时对应的旋转矩阵为。

现在，我们将在处进行泰勒展开，得到：

可以看到，反映了的导数性质，所以我们称它为SO(3)原点附近的正切空间上。

（下面是书上的推导公式，其实我个人认为这样的推导不是很合理，也有可能是我没有完全理解）

同时在附近，设保持为常数，于是根据得到：

就是这一步不是很理解，因为仅仅是在的附近保持不变，而不是在整个的范围内保持不变，所以这里只将代入中，我感觉上面的等式是不成立的。如果有人理解了这一步的话，希望能够给我讲解一下，万分感谢！

接着讲，上面是一个关于的微分方程，而且知道了的初始值为，解微分方程可以得到：

（不会解的可以回去看一下高数的一阶线性微分方程的解法）。

总结：

我们看到，旋转矩阵与另一个反对称矩阵通过指数关系发生了联系，也就是说，当我们知道某个时刻的时，存在一个向量，它们满足这个矩阵指数关系。有下面两个问题要提现说明一下：

（1）与对应的有什么含义呢？后面可以看到，就是对应到上的李代数。

（2）矩阵指数如何计算？这也就是后面要学习的李群和李代数之间的指数/对数映射。

这一节的知识很不好理解，迷迷糊糊的。所以就先到这里了。下一篇开始学习对应的李代数。