半闲居士视觉SLAM十四讲笔记（4）李群与李代数 - part 1 李群、李代数定义

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作者：宋洋鹏（youngpan1101）
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李群与李代数

李群李代数基础

• 三维旋转矩阵构成$\color{Red}{特殊正交群}$ $SO(3)$：
  $$SO(3) = \left \{ {\boldsymbol R} \in {\mathbb R}^{3 \times 3} | {\boldsymbol R} {\boldsymbol R}^{T} = {\boldsymbol I}, det({\boldsymbol R}) = 1 \right \} \tag{4.1}$$
• 三维变换矩阵构成$\color{Red}{特殊欧式群}$ $SE(3)$：
  $$SE(3) = \left \{ {\boldsymbol T} = \begin{bmatrix} {\boldsymbol R} & {\boldsymbol t} \\ 0^{T} & 1 \\ \end{bmatrix} \in {\mathbb R}^{4 \times 4} | {\boldsymbol R} \in SO(3), {\boldsymbol t} \in {\mathbb R}^{3} \right \} \tag{4.2}$$
• 旋转矩阵、变换矩阵对加法是不封闭的，即 ${\boldsymbol R}_{1} + {\boldsymbol R}_{2} \notin SO(3)$ 。
• $SO(3)$ 和 $SE(3)$ $\color{Red}{关于乘法是封闭的}$，即 ${\boldsymbol R}_{1} {\boldsymbol R}_{2} \in SO(3)，{\boldsymbol T}_{1} {\boldsymbol T}_{2} \in SE(3)$ 。
  乘法对应着旋转或变换的复合（两个旋转矩阵相乘表示做了两次旋转），对于这种只有一种运算的集合，称之为 群（Group）。

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群

• 群是$\color{Red}{一种集合加上一种运算的代数结构}$。
• 记集合为 $A$，运算为 $·$ ，那么当运算满足以下性质时（$\color{Red}{封结幺逆}$，“凤姐咬你”），称 $G= (A, · )$ 为群：
  
  • 封闭性： $\forall a_{1}, a_{2} \in A, \; a_{1} · a_{2} \in A$.
  • 结合律： $\forall a_{1}, a_{2}, a_{3} \in A, \; (a_{1} · a_{2}) · a_{3} = a_{1} · (a_{2} · a_{3})$.
  • 幺元： $\exists a_{0} \in A, \; s.t. \; \forall a \in A, \; a_{0} · a = a · a_{0} = a$.
  • 逆： $\forall a \in A, \; \exists a^{-1} \in A, \; s.t. \; a · a^{-1} = a_{0}$.
• 矩阵中常见的群：
  
  • 一般线性群 $GL(n)$ ： $n \times n$ 的可逆矩阵，它们对矩阵乘法成群。
  • 特殊正交群 $SO(n)$： 即旋转矩阵群，其中 $SO(2)$ 和 $SO(3)$ 最为常见。
  • 特殊欧式群 $SE(n)$ ： 即 $n$ 维欧氏变换，如 $SE(2)$ 和 $SE(3)$。
• 李群（Lie Group）：
  
  • 具有$\color{Red}{连续}$（光滑）性质的群。
  • 既是群也是流形。
  • 直观上看，一个刚体能够连续地在空间中运动，故 $SO(3)$ 和 $SE(3)$ 都是李群。
    但是，$SO(3)$ 和 $SE(3)$ 只有定义良好的乘法，没有加法，所以$\color{Red}{难以进行取极限、求导}$等操作。
  • $SO(3)$ 和 $SE(3)$ 对于$\color{Red}{相机姿态估计}$尤其重要，本讲主要讨论这两个李群。

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李代数

• 定义：与李群对应的一种结构，位于向量空间。

• 李代数的引出

  任意旋转矩阵 ${\boldsymbol R}$，满足：
  

  $${\boldsymbol R} {\boldsymbol R}^{T} = {\boldsymbol I} \tag{4.3}$$
  ${\boldsymbol R}$ 为时间 $t$ 的函数，有
  $${\boldsymbol R}(t) {\boldsymbol R}(t)^{T} = {\boldsymbol I} \tag{4.4}$$
  式 (4.4) 两侧对时间求导，得
  $$\dot{{\boldsymbol R}} (t) {\boldsymbol R}(t)^{T} + {\boldsymbol R}(t) \dot{{\boldsymbol R}} (t) ^{T} = 0 \tag{4.5}$$
  整理得
  $$\dot{{\boldsymbol R}} (t) {\boldsymbol R}(t)^{T} = -\left( \dot{{\boldsymbol R}} (t) {\boldsymbol R}(t)^{T} \right) ^{T} \tag{4.6}$$
  可以看出 $\dot{{\boldsymbol R}} (t) {\boldsymbol R}(t)^{T}$ 是一个反对称矩阵，记：
  $$\dot{{\boldsymbol R}} (t) {\boldsymbol R}(t)^{T} = \phi (t) ^ {\land} \tag{4.7}$$
  等式 (4.7) 两侧右乘 ${\boldsymbol R}(t)$，而 ${\boldsymbol R}(t)$ 又为正交阵，有
  $$\dot{{\boldsymbol R}} (t) = \phi (t)^{\land} {\boldsymbol R}(t) = \begin{bmatrix} 0 & -\phi_{3} & \phi_{2} \\ \phi_{3} & 0 & -\phi_{1} \\ -\phi_{2} & \phi_{1} & 0 \end{bmatrix} {\boldsymbol R}(t) \tag{4.8}$$
  考虑简单的情况，设 $t_{0} = 0$，此时旋转矩阵 ${\boldsymbol R}(0) = {\boldsymbol I}$ ， 将 ${\boldsymbol R}(t)$ 在 0 附件进行一阶 泰勒展开：
  $${\boldsymbol R}(t) \approx {\boldsymbol R}(t_{0}) + \dot{{\boldsymbol R}} (t_{0}) (t - t_{0}) = {\boldsymbol I} + \phi (t_{0})^{\land} (t) \tag{4.9}$$
  由式 (4.9) 可见， $\phi$ 反映了 ${\boldsymbol R}$ 的导数性质，故称它在 $SO(3)$ 原点附近的正切空间（tangent space）上。
  在 $t_{0}$ 附近，假设 $\phi$ 不变，有微分方程：
  $$\dot{{\boldsymbol R}} (t) = \phi (t_{0})^{\land} {\boldsymbol R}(t) = \phi_{0}^{\land} {\boldsymbol R}(t) \tag{4.10}$$
  已知初始情况： ${\boldsymbol R}(t_{0})={\boldsymbol R}(0) = {\boldsymbol I}$ ，解之，得：（一阶向量微分方程的齐次方程 $\dot{{\boldsymbol x}}(t) = A {\boldsymbol x}(t)$ 的解的形式为 ${\boldsymbol x}(t) = {\rm exp}(A(t-t_{0})){\boldsymbol x}(t_{0})$ , ${\boldsymbol x}(t_{0})$ 为初始状态）
  $$\color{Blue}{ {\boldsymbol R} (t) = {\rm exp}(\phi_{0}^{\land} (t-t_{0})) {\boldsymbol R} (t_{0}) = {\rm exp}(\phi_{0}^{\land} t) } \tag{4.11}$$
  式 (4.11) 说明：对任意 $t$，都可以找到一个 ${\boldsymbol R}$ 和一个 $\phi$ 的对应关系

  • 该关系称为$\color{Red}{指数映射}$（Exponential Map）。
  • 这里的 $\phi$ 称为 $SO(3)$ 对应的李代数：$\mathfrak{so}(3)$ 。

• 李代数的定义（Lie Algebra）

  • $\color{Red}{每个李群都有与之对应的李代数}$。
  • 李代数描述了李群单位元数的正切空间性质。

  • 李代数由一个集合 $\mathbb V$，一个数域 $\mathbb F$ 和一个二元运算 $[,]$ （李括号，反映两个元素的差异） 组成，若满足以下几条性质，称 $({\mathbb V}, {\mathbb F}, [,])$ 为一个李代数，记作 $\mathfrak{g}$。

    • 封闭性：$\forall {\boldsymbol X}, {\boldsymbol Y} \in {\mathbb V}, \; [{\boldsymbol X}, {\boldsymbol Y}] \in {\mathbb V}$ .
    • 双线性：$\forall {\boldsymbol X}, {\boldsymbol Y}, {\boldsymbol Z} \in {\mathbb V}, a, b \in {\mathbb F}$， 有：
      $[a{\boldsymbol X} + b{\boldsymbol Y}, {\boldsymbol Z}] = a[{\boldsymbol X}, {\boldsymbol Z}] +b[{\boldsymbol Y}, {\boldsymbol Z}], \; [{\boldsymbol Z}, a{\boldsymbol X} + b{\boldsymbol Y}] = a[{\boldsymbol Z}, {\boldsymbol X}] + b[{\boldsymbol Z}, {\boldsymbol Y}]$ .
    • 自反性： $\forall {\boldsymbol X} \in {\mathbb V}, \; [{\boldsymbol X}, {\boldsymbol X}] = 0$ .
    • 雅克比等价：$\forall {\boldsymbol X}, {\boldsymbol Y}, {\boldsymbol Z} \in {\mathbb V}, \; [{\boldsymbol X}, [{\boldsymbol Y}, {\boldsymbol Z}]] + [{\boldsymbol Z}, [{\boldsymbol Y}, {\boldsymbol X}]] + [{\boldsymbol Y}, [{\boldsymbol Z}, {\boldsymbol X}]] = 0$

  • 例子：三维空间向量 + 叉积运算 构成李代数。

  • 将李代数理解成向量形式或矩阵形式都是可以的，向量形式更加自然一些。

• 李代数 $\mathfrak{so} (3)$

  • $\mathfrak{so} (3)$ 的元素是 3 维向量或者 3 维反对称矩阵，不加区别：
    $$\color{Blue}{ \mathfrak{so} (3) = \left\{ {\boldsymbol \phi} \in {\mathbb R}^{3} , \Phi = {\boldsymbol \phi}^{\land} \in {\mathbb R}^{3 \times 3} \right\} } \tag{4.12}$$
    式 (4.12) 中 $\Phi$ ：
    $$\Phi = {\boldsymbol \phi} ^{\land} = \begin{bmatrix} 0 & -\phi_{3} & \phi_{2} \\ \phi_{3} & 0 & -\phi_{1} \\ -\phi_{2} & \phi_{1} & 0 \end{bmatrix} \in {\mathbb R}^{3 \times 3} \tag{4.13}$$
  • 李括号
    $$[{\boldsymbol \phi}_{1}, {\boldsymbol \phi}_{2}] = ({\boldsymbol \Phi}_{1} {\boldsymbol \Phi}_{2} - {\boldsymbol \Phi}_{2} {\boldsymbol \Phi}_{1}) ^{\lor} \tag{4.14}$$

• 李代数 $\mathfrak{se} (3)$

  • $\mathfrak{se} (3)$ 位于 ${\mathbb R}^{6}$ 空间中， 前三维为平移，记作 ${\boldsymbol \rho}$，后三维为旋转，记作 ${\boldsymbol \phi}$：
    $$\color{Blue}{ \mathfrak{se} (3) = \left\{ {\boldsymbol \xi} = \begin{bmatrix} {\boldsymbol \rho} \\ {\boldsymbol \phi} \\ \end{bmatrix} \in {\mathbb R}^{6}, {\boldsymbol \rho} \in {\mathbb R}^{3}, {\boldsymbol \phi} \in \mathfrak{so} (3), {\boldsymbol \xi}^{\land} = \begin{bmatrix} {\boldsymbol \phi}^{\land} & {\boldsymbol \rho} \\ {\boldsymbol 0}^{T} & 0 \\ \end{bmatrix} \in {\mathbb R}^{4 \times 4} \right\} } \tag{4.15}$$
  • 李括号
    $$[{\boldsymbol \xi}_{1}, {\boldsymbol \xi}_{2}] = ({\boldsymbol \xi}_{1}^{\land} {\boldsymbol \xi}_{2}^{\land} - {\boldsymbol \xi}_{2}^{\land} {\boldsymbol \xi}_{1}^{\land} ) ^{\lor} \tag{4.16}$$
  • 不同书籍对 $\mathfrak{se} (3)$ 的平移、旋转分量的先后顺序定义不同。