视觉SLAM十四讲学习笔记——第四章 李群与李代数

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4.1 李群李代数基础

4.1.1 群

1. 群的定义：群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构，把集合记作 $A$，运算记作 ·，则群记作 $G = (A, ·)$。
2. 群的性质：
   1. 封闭性： $\forall a_1, a_2 \in A, \quad a_1 · a_2 \in A$.
   2. 结合律： $\forall a_1, a_2, a_3 \in A, \quad (a_1 · a_2) · a_3 = a_1 · (a_2 · a_3)$.
   3. 幺元： $\forall a_0 \in A,\quad s.t. \quad \forall a \in A,\quad a_0 · a = a · a_0 = a$.
   4. 逆： $\forall a \in A,\quad \exists a^{−1} \in A,\quad s.t.\quad a · a^{−1} = a_0$
3. 矩阵中常见的群：
   1.一般线性群 $GL(n)$ 指 $n × n$ 的可逆矩阵，它们对矩阵乘法成群。
   2. 特殊正交群 $SO(n)$ 也就是所谓的旋转矩阵群，其中 $SO(2)$ 和 $SO(3)$ 最为常见。
   3. 特殊欧氏群 $SE(n)$ 也就是前面提到的 $n$ 维欧氏变换，如 $SE(2)$ 和 $SE(3)$。
4. 李群是指具有连续（光滑）性质的群， $SO(n)$ 和 $SE(n)$，它们在实数空间上是连续的，所以他们都是李群。
5. 每个李群都有李代数

4.2.2 李代数的引出

1. $\bm{\dot{R}}(t)\bm{R}(t)^T$ 是反对称矩阵。
2. 每对旋转矩阵求一次导数，左乘一个 $ϕ(t)^{\bm\land}$ 矩阵
   
3. 在 $t = 0$ 附近，有 $\bm{R(t)} = exp (\bm{ϕ_0^\wedge} t)$ .

4.1.3 李代数的定义

1. 定义：李代数由一个集合 $\mathbb{V}$，一个数域 $\mathbb{F}$ 和一个二元运算 $[,]$ 组成。如果它们满足以下几条性质，称 $(\mathbb{V}, \mathbb{F}, [,])$ 为一个李代数，记作 $\bm{\mathfrak{g}}$ 。
   
   其中二元运算被称为李括号
2. 例子，三维向量的叉积： $\bm{\mathfrak{g}} = (\mathbb{R}^3, \R; ×)$ .

4.1.4 李代数 $\mathfrak{so}(3)$

$\mathfrak{so}(3)$ 的内容：是一个由三维向量组成的集合，每个向量对应到一个反对称矩阵，可以表达旋转矩阵的导数
         
其中：
     
两个向量的李括号为：
          

4.1.5 李代数 $\mathfrak{se}(3)$

$\mathfrak{se}(3)$ 位于 $\R^6$ 空间中：

在 $\mathfrak{se}(3)$ 中，同样使用 $\bm{^\land}$ 符号，将一个六维向量转换成四维矩阵，但这里不再表示反对称。

其中李括号为：
               

4.2 指数与对数映射

4.2.1 $SO(3)$ 上的指数映射

1. 计算公式：
        
   其中 $\bm{ϕ} = θ\bm{a}$。这里 $\bm{a}$ 是一个长度为 1 的方向向量
2. $\mathfrak{so}(3)$ 实际上就是由旋转向量组成的空间，指数映射即罗德里格斯公式，指数映射把 $\mathfrak{so}(3)$ 中任意一个向量对应到了一个位于 $SO(3)$ 中的旋转矩阵。
3. 通过对数映射，把 $SO(3)$ 中的元素对应到 $\mathfrak{so}(3)$
          
4. 每个 $SO(3)$ 中的元素，都可以找到一个 $\mathfrak{so}(3)$ 元素与之对应；可能存在多个 $\mathfrak{so}(3)$ 中的元素，对应到同一个 $SO(3)$ 。对于旋转角 $θ$，由周期性知，多转 360 度和没有转是同样的情况。若规定转角度固定在 $±π$ 之间，那么李群和李代数元素是一一对应的。

4.2.2 $SE(3)$ 上的指数映射

1. $\mathfrak{se}(3)$ 上的指数映射形式如下：
   
   其中， $\bm{J}$ 的定义如下：
          
2. 由变换矩阵 $\bm{T}$ 的表达式可知， $\bm{t} = \bm{Jρ}$

4.3 李代数求导与扰动模型

4.3.1 BCH 公式与近似形式

1. 以下两式在变量为矩阵时不成立：
          
          
2. BCH 展开式：
   
   其中 $[]$ 为李括号
3. 考虑 $SO(3)$ 上的李代数 $\ln {(\exp (\bm{ϕ_1^\land} ) \exp (\bm{ϕ_2^\land} ))^\lor}$ ，当 $\bm{ϕ_1}$ 或 $\bm{ϕ_2}$ 为小量时，小量二次以上的项都可以被忽略掉。此时， BCH 拥有线性近似表达：
   
   其中 $\bm{J_l}$ 的定义为：
          
   它的逆为：
          
   右乘雅可比矩阵对自变量变号：
                      
4. 李群乘法与李代数加法的关系：
   1. $SO(3)$ 上：
      
      
   2. $SE(3)$ 上：
      

4.3.2 $SO(3)$ 李代数上的求导

1. 在实践中经常会构建与位姿有关的函数，然后讨论该函数关于位姿的导数，以调整当前的估计值。
2. 由于 $SO(3), SE(3)$ 上并没有良好定义的加法，李代数由向量组成，具有良好的加法运算。因此，使用李代数解决求导问题。思路分为两种：
   1. 用李代数表示姿态，然后对根据李代数加法来对李代数求导——求导模型。
   2. 对李群左乘或右乘微小扰动，然后对该扰动求导，称为左扰动和右扰动模型——扰动模型。

4.3.3 李代数求导

1. 由于 $SO(3)$ 没有加法，所以该导数无法按照导数的定义进行计算。设 $\bm{R}$ 对应的李代数为 $\bm{ϕ}$ ，转而计算：
                  
2. 李代数求导公式推导：
   

4.3.4 扰动模型

1. 扰动模型是对 $\bm{R}$ 进行一次扰动 $∆\bm{R}$ 。这个扰动可以乘在左边也可以乘在右边，最后结果会有一点儿微小的差异。
2. 左扰动模型的推导：设左扰动 $∆\bm{R}$ 对应的李代数为 $φ$ 。然后，对 $φ$ 求导，即：
        
   推导过程：
        
3. 扰动模型省去了雅可比计算，扰动模型更为实用。

4.3.5 $SE(3)$ 上的李代数求导

4. 假设某空间点 $\bm{p}$ 经过一次变换 $\bm{T}$（对应李代数为 $\bm{ξ}$ ），得到 $\bm{Tp}$ 。现在，给 $\bm{T}$ 左乘一个扰动 $∆\bm{T} = \exp (δ\bm{ξ^\land})$，我们设扰动项的李代数为 $δ\bm{ξ} = [δ\bm{ρ}, δ\bm{ϕ}]^T$，那么：
   

4.4 实践： Sophus

sophus github链接：https://github.com/strasdat/Sophus

4.5 *相似变换群与李代数

1. 单目相机具有尺度不确定性，在计算时要显示的把尺度因子表示出来。
2. 对于位于空间的点 p，在相机坐标系下经过一个相似变换，而非欧氏变换：
              
   其中 $s$ 为尺度因子，它同时作用在 p 的三个坐标之上，对 p 进行了一
   次缩放
3. 与 $SO(3)、 SE(3)$ 相似，相似变换亦对矩阵乘法构成群，称为相似变换群 $Sim(3)$：
              
4. 李代数 $\mathfrak{sim}(3)$ 元素是一个七维向量 $\bm{ζ}$ 。它的前六维与 $\mathfrak{se}(3)$ 相同，最后多了一项 $σ$ 。
   
5. 指数映射为：
              
   其中 $\bm{J_s}$ 的形式为：
      
6. 李代数与李群的关系为：
              
7. $sim(3)$ 的扰动模型：