【数学和算法】SVD奇异值分解原理、以及在PCA中的运用

详细的介绍请参考这篇博客：SVD奇异值分解

SVD奇异值分解是用来对矩阵进行分解，并不是专门用来求解特征值和特征向量。
而求解特征值和求解特征向量，可以选择使用SVD算法进行矩阵分解后，再用矩阵分解后的结果得到特征值和特征向量。

PCA降维会需要求解协方差矩阵的特征值和特征向量，求协方差矩阵$\frac{1}{m}\ast X\ast X^T$的特征值和特征向量，又可以等价于SVD的其中一种求解矩阵A的三个分解矩阵的方法；
该方法即，利用$A\ast A^T$和$A^T\ast A$来求解A的三个分解矩阵.
所以求出了A的三个分解矩阵，就可以从A的分解矩阵中，间接得到矩阵A*矩阵A转置的特征值和特征向量(这是因为A的三个分解矩阵是和$A\ast A^T$的特征值、特征向量是有关系的)，同时也是协方差矩阵$\frac{1}{m}\ast X\ast X^T$的特征值和特征向量。

上面的博客中介绍的SVD奇异值分解的方法中，并没有用到协方差矩阵，不要误解为$A^T\ast A$就是协方差矩阵，因为他们并没有减去均值的操作。并且该SVD的实现算法有很多种，可以不用先求出矩阵$A^T\ast A$ ，也能求出我们的右奇异矩阵V。

SVD奇异值分解是使用特殊方法来求解出矩阵的左奇异矩阵U和右奇异矩阵V。但是求解U、V的方法有很多种，并非只有使用 $A^T\ast A$这一个方法，而且计算矩阵$A^T\ast A$这个方法计算量太大，不合适。该博客是以这种方法为例，所以这一点需要明白。

需要注意的是，是在PCA降维中才使用了协方差矩阵： $X^T\ast X$ ，每个维度都做了减去均值的操作后，得到的协方差矩阵就变为了SVD奇异值分解中用到的那种矩阵转置*矩阵的形式，请参考博客深入理解PCA与SVD的关系的第三节。这样，求解的问题就变得一样了

所以，PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。

实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

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PCA降维的方法有下面几种：

(1)直接对样本数据组成的矩阵Xn*n进行求解特征值和特征向量：

这种方式可能是初学者最直接就想到的，他是一种暴力求解方式，当样本特征维度很大时，求解耗时，还可能是复数解。并且，该方法有个硬伤，必须是方阵，即$n\ast n$的矩阵才能求解特征值和特征向量。

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(2)计算协方差矩阵，通过变换矩阵转换来降低维度：

对样本矩阵$X_{n\ast m}$进行下面操作：

• 求X的各个维度 均值；
• 将 X的各个维度减去该维度均值，再赋值给X，即in place就地操作；
• 计算X的协方差矩阵 $C=\frac{1}{m}\ast X\ast X^T$；
• 对协方差矩阵 C特征值分解；
• 从大到小排列C的特征值；
• 取前K个特征值对应的特征向量按行组成矩阵即为变换矩阵$P_{k\ast n}$；
• $Y=P\ast X$,得到的Y就是降维后的数据。

该方法会因为：

• (1) 特征维度很大而使得协方差矩阵 $C=\frac{1}{m}\ast X\ast X^T$计算量很大；
• (2) 计算出了协方差矩阵后，对协方差矩阵的特征分解的计算效率并不高;

所以也不合适。

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(3)将PCA问题转化为SVD问题求解：

SVD奇异值分解是使用特殊方法来求解出矩阵的左奇异矩阵U和右奇异矩阵V。但是求解U、V的方法有很多种，并非只有使用 $A^T\ast A$这一个方法，而且计算矩阵$A^T\ast A$ 这个方法计算量太大，不合适。该博客是以这种方法为例，所以这一点需要明白。

SVD的实现算法有很多种，可以不用先求出矩阵 $X\ast X^T$，也能求出我们的右奇异矩阵V。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。
实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

所以，在第二种方法的基础上，我们求协方差矩阵的计算量很大，就把计算协方差矩阵转化为SVD问题求解，令：

就有：

所以：

• 求$X$的协方差矩阵 $C=\frac{1}{m}\ast X\ast X^T$ 的特征分解，等价于求$A^T\ast A$的特征分解；
• 又因为，$A^T\ast A$的特征分解可以不用求出$A^T\ast A$，而是利用SVD的其他迭代方法得到$A$的SVD分解左奇异矩阵$U$、右奇异矩阵$V$和奇异值矩阵$\Lambda$；
• 通过右奇异矩阵$V$ 和奇异值矩阵$\Lambda$(对角阵)，得到$A^T\ast A$的特征值和特征向量。即每个特征值对应一个奇异值的平方，每个特征向量对应右奇异矩阵$V$的每列向量；
• 求出了特征值和特征向量，取前 $k$ 个，就能够求出第二种方法里面的变换矩阵$P_{k\ast n}$，然后再计算$Y=P\ast X$,得到的$Y$就是降维后的数据。

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PCA的性质：
可参考：【机器学习】降维——PCA（非常详细）

PCA是主成分分析，他既可以用来降低特征维度(把每个样本的n个特征缩减为主要的k个特征)；

也可以不降低特征维度(如图像压缩恢复中并没有改变图片的尺寸)。