奇异值分解（SVD）

以下内容来自刘建平Pinard-博客园的学习笔记，总结如下：

奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。

1. 回顾特征值和特征向量

首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：

$Ax=\lambda x$

其中 A 是一个$n\times n$矩阵， $x$ 是一个$n$ 维向量，则$\lambda$是矩阵$A$的一个特征值，而 $x$是矩阵 $A$ 的特征值$\lambda$所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值$\lambda_{1}\leq \lambda_{2}\leq... \leq \lambda_{n}$，以及这 $n$ 个特征值所对应的特征向量 ${{ w_{1},w_{2}},...,w_{n}}$ ，

那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：

其中W是这n个特征向量所张成的$n×n$维矩阵，而$Σ$为这$n$个特征值为主对角线的$n×n$维矩阵。

一般我们会把W的这n个特征向量标准化，即满足 $\left| \left| w_{i} \right| \right|_{2}=1$，或者$w_{i}^{T}w_{i}=1$ ，此时$W$的

n个特征向量为标准正交基，满足$W^{T}W=I$ ，即 $W^{T}=W^{-1}$ ，也就是说W为酉矩阵。

这样我们的特征分解表达式可以写成

注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。

那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

2. SVD的定义

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：

其中 U 是一个$m\times m$的矩阵， $\Sigma$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值， $V$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵。 $U$ 和 $V$都是酉矩阵，即满足

$U^{T}U=I,V^{T}V=I$。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

那么我们如何求出SVD分解后的$U,Σ,V$这三个矩阵呢？

如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到$n×n$的一个方阵$A^{T}A$ 。既然 $A^{T}A$ 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

这样我们就可以得到矩阵 $A^{T}A$的$n$个特征值和对应的n个特征向量v了。将 $A^{T}A$ 的所有特征向量张成一个$n×n$的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到$m×m$的一个方阵 $AA^{T}$ 。既然 $AA^{T}$ 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

这样我们就可以得到矩阵 $AA^{T}$ 的$m$个特征值和对应的$m$个特征向量$u$了。将 $AA^{T}$的所有特征向量张成一个$m×m$的矩阵$U$，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将$U$中的每个特征向量叫做$A$的左奇异向量。

$U$和$V$我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵$Σ$没有求出了.

由于$Σ$除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。

我们注意到:

这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说 $A^{T}A$ 的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而

$AA^{T}$的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。

上式证明使用了 $U^{U}=I$,$\Sigma^{T}= \Sigma$ 。可以看出 $A^{T}A$的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到 $AA^{T}$的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：

这样也就是说，我们可以不用$\sigma_{i}=\frac{Av_{i}}{u_{i}}$来计算奇异值，也可以通过求出$A^{T}A$ 的特征值取平方根来求奇异值。

3. SVD计算举例

这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：

首先求出$A^{T}A$ 和 $AA^{T}$

进而求出 $A^{T}A$ 的特征值和特征向量：

接着求出 $AA^{T}$的特征值和特征向量：

利用 $Av_{i}=\sigma_{i}u_{i}$, $i=1,2$ 求奇异值：

也可以用 $\sigma_{i}=\sqrt{\lambda_{i}}$直接求出奇异值为 $\sqrt{3}$和$1$.

最终得到A的奇异值分解为：

4. SVD的一些性质　

对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。

也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。

也就是说：

其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵 $U_{m\times k},\sum_{}^{}{_{k\times k}}$,$V_{k\times n}^{T}$来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。

下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。

5. SVD用于PCA

PCA降维，需要找到样本协方差矩阵 X^{T}X 的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵 X^{T}X ，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵 X^{T}X 最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵 X^{T}X ，也能求出我们的右奇异矩阵V。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

假设我们的样本是m×n的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵 XX^{T} 最大的d个特征向量张成的m×d维矩阵U，则我们如果进行如下处理：

可以得到一个d×n的矩阵X‘,这个矩阵和我们原来的m×n维样本矩阵X相比，行数从m减到了k，可见对行数进行了压缩。

左奇异矩阵可以用于行数的压缩。

右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。

6. SVD小结　

SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。

SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。

PCA原理 刘建平
http://www.cnblogs.com/pinard/p/6239403.html