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奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。

1. 回顾特征值和特征向量

　　　我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：

$Ax = \lambda x$ （a）

$Aw_{n} = \lambda_{n}w_{n}$ （b）

（a）式中，A是一个 $n\times n$ 的矩阵， $x$ 是一个 $n$ 维向量，则我们说 $\lambda$ 是矩阵A的一个特征值，而 $x$ 是矩阵A的特征值 $\lambda$ 所对应的特征向量。（b）式中我们将矩阵A的多个特征值 $\lambda _{n}$ 与特征向量 $w_{n}$ 具体表示了出来，便于下面对SVD的理解。二式原理相同。

　　　　求出特征值和特征向量有什么好处呢？就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值λ1≤λ2≤...≤λn，以及这n个特征值所对应的特征向量{w1,w2,...wn}，如果这n个特征向量线性无关，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：

$A=W\Sigma W^{-1}$

其中W是这 $n$ 个特征向量所张成的 $n\times n$ 维矩阵，而Σ为这n个特征值为主对角线的 $n\times n$ 维矩阵。

　　　一般我们会把W的这 $n$ 个特征向量标准化，即满足 $\left \| w_{i} \right \|_{2} = 1$ , 或者说 $w_{i}\times w_{i}^{T} =1$ ，此时W的 $n$ 个特征向量为标准正交基，满足 $W^{T}W = I$ ，即 $W^{T} = W^{-1}$ 也就是说W为酉矩阵，在实数矩阵中，酉矩阵指的是转置矩阵与逆矩阵相等的矩阵；在复数矩阵中，酉矩阵指的是共轭转置矩阵（矩阵中各元素实部不变，虚部相反数）与逆矩阵相等的矩阵。

　　　　这样我们的特征分解表达式可以写成:

$A=W\Sigma W^{T}$

　　　　注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

2. SVD的定义

　　　　SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个 $m \times n$ 的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：

$A=U\Sigma V^{T}$

　　　　其中U是一个 $m \times m$ 的矩阵，Σ是一个 $m \times n$ 的矩阵，是一个diag对角阵，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个 $n \times n$ 的矩阵。U和V都是酉矩阵。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

　　　　那么我们如何求出SVD分解后的U,Σ,V这三个矩阵呢？

基本思路是，利用 $AA^{T}$ 的特征向量矩阵表示U矩阵，利用 $A^{T}A$ 的特征向量矩阵表示V矩阵，证明如下：

$A=U\Sigma V^{T}\rightarrow A^{T} = V\Sigma U^{T}$

$A^{T}A=V\Sigma U^{T} U\Sigma V^{T}$

因为 $U^{T}U = E$ ， $\Sigma \Sigma^{T}=\Sigma ^{2}$ 所以：

$A^{T}A=V\Sigma^{2} V^{T}$

根据特征分解的定义，可知矩阵V为 $A^{T}A$ 的特征向量矩阵，同理可求矩阵U

　如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到 $m \times m$ 的一个方阵 $AA^{T}$ 。既然 $AA^{T}$ 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

$(AA^{T})u_{m} = \lambda_{m}u_{m}$

　　　　这样我们就可以得到矩阵 $AA^{T}$ 的m个特征值和对应的m个特征向量 $u_{m}$ 了。将 $AA^{T}$ 的所有特征向量组成一个 $m \times m$ 的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

　　　　如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到 $n \times n$ 的一个方阵 $A^{T}A$ 。既然 $A^{T}A$ 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

$(A^{T}A)v_{n} = \lambda_{n}v_{n}$

　　　　这样我们就可以得到矩阵 $A^{T}A$ 的n个特征值和对应的n个特征向量 $v_{n}$ 了。将 $A^{T}A$ 的所有特征向量组成一个 $n \times n$ 的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。　　　

　　　　U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵Σ没有求出了。由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值 $\sigma$ 就可以了。

　　　　注意到:

$A = U\Sigma V^{T}$ 　　　

$AV = U \Sigma$

$Av_{i}=u_{i}\sigma _{i}$

这样我们可以求出我们的每个奇异值 $\sigma_{i}$ ，进而求出奇异值矩阵Σ。

根据 $A^{T}A=V\Sigma^{2} V^{T}$ ，可知特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：

$\sigma^{2}_{i}=\sqrt{\lambda_{i}}$

　　　　这样也就是说，我们可以通过求出特征值取平方根来求奇异值。

3. SVD计算举例

举例说明，定义矩阵A：

$A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}$

首先计算 $AA^{T}$ 与 $A^{T}A$ ：

$AA^{T}=\begin{bmatrix} 0&1\\ 1&1\\ 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&1&0\\ 1&2&1\\ 0&1&1 \end{bmatrix}$

$A^{T}A=\begin{bmatrix} 0& 1 &1 \\ 1& 1 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&1\\ 1&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1\\ 1&2 \end{bmatrix}$

然后计算 $AA^{T}$ 与 $A^{T}A$ 的特征值及特征向量，接着求出奇异值 $\sigma_{i}$ 并组成奇异值矩阵Σ，完成了对于矩阵A的SVD分解。

4. SVD的一些性质

奇异值与特征值得意义类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。

由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。

奇异值分解(SVD)原理

声明：本文大部分转载自(https://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html)

1. 回顾特征值和特征向量

2. SVD的定义

3. SVD计算举例

4. SVD的一些性质

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