2020牛客寒假算法基础集训营6 E 立方数(数论)

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/4629/E

题目大意：

  对于给定的正整数 N，求最大的正整数 A，使得存在正整数 B，满足 $A^{3}B$=N,输入包含 T 组数据，1≤T≤10,000；1≤N≤$10^{18}$

题目思路：

  第一眼，$A^3$最大那就是所有次数超过3的肯定都得给A啊，那肯定就是直接质因数分解，然后看所有指数/3是多少就给答案乘多少直接秒杀啊，后来一看范围，默默闭上嘴巴。分解质因数sqrt的复杂度连一组都过不去，咋办？然后可以发现，可以枚举质因数，1e9之内的质因数肯定没法了，但是可以发现是三次方才到N，所以符合要求的质因数最大也就$n^{\frac{1}{3}}$，也就1e6嘛，但是，可以发现尼玛1e6内的质因数多达78498，那对于T直接凉凉。那咋办呢？继续缩小！$n^{\frac{1}{4}}$才到31623，就当40000，内部的质数数量也就4203,4e7的复杂度是够通过1s的！那么，只到$\frac{1}{4}$，剩下到1e6那部分可咋办？不用慌！可以发现一个牛B的事实，那就是大于$n^{\frac{1}{4}}$的部分想对答案有贡献，那最多只有一个。为啥呢，假如有两个符合要求的小伙子，那么他们相乘最少都有$n^{\frac{1}{2}}$，要是再来三次，就$n^{\frac{3}{2}}$超过n了，所以这肯定不可能。如果只有一个小伙子的话也容易，因为它大于$n^{\frac{1}{4}}$，所以4次方肯定不行了，直接超过n了，如果只有1次或者2次那对答案没贡献，也就是这个小伙子除非是一个立方数，否则就没用了。所以在1~1e6里面二分，来判断这家伙是不是一个立方数就行。是的话算上它的贡献就是答案案。

以下是代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
const int MAXN =1e6+5;
const int MAXM = 4e7+5;
const int MOD = 1e9+7;
bool vis[MAXN];
int a[MAXN];
ll n;
int main()
{
    
    
    int tot=0;
    rep(i,2,4e4){
    
    
        if(vis[i])continue;
        a[++tot]=i;
        for(int j=i+i;j<=4e4;j+=i)vis[j]=1;
    }
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
    
    
        scanf("%lld",&n);
        ll ans=1;
        rep(i,1,tot){
    
    
            if(n%a[i]==0){
    
    
                int num=0;
                while(n%a[i]==0){
    
    
                    num++;
                    n/=a[i];
                }
                num=num/3;
                rep(j,1,num)ans*=a[i];
            }
        }
        ll l=1,r=1e6;
        while(l<=r){
    
    
            ll mid=(l+r)>>1;
            ll temp=mid*mid*mid;
            if(temp==n){
    
    
                ans*=mid;
                break;
            }
            if(temp>n)r=mid-1;
            else l=mid+1;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}