2020牛客寒假算法基础集训营2——E.做计数【推公式】

题目传送门

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题目描述

这一天，牛牛与 牛魔王相遇了――然而这并不在 牛牛期望之中。
牛魔王不出意料又给 牛牛一道看似很难的题目：求有多少个不同的正整数三元组 $\text{}(i,j,k)$ 满足 $\sqrt i+\sqrt j=\sqrt k$ ，且 $i\times j\leq n$。
牛牛并不会做，你能略施援手吗？
当两个三元组 $\text{}(i_1,j_1,k_1), (i_2,j_2,k_2)$ 满足 $i_1\neq i_2$ 或 $j_1\neq j_2$ 或 $k_1\neq k_2$ 时它们被认为是不同的。

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输入描述:

第一行，一个正整数 n。

保证 $1\leq n\leq 4\times 10^7$。

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输出描述:

输出一行，一个整数表示答案。

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输入

1

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输出

1

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说明

(1,1,4)

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题解

• 两边平方，得 $i+j+2\sqrt{ij}=k$，显然仅当 i,ji,j 都是整数且 $ij$ 为完全平方数时才会对应一个符合条件的 $k$ 。

• 枚举 $[1,n]$中所有的完全平方数（完全平方数可以表示为 $x^2$，只需要枚举 $x$ ），再枚举这个完全平方数的因数，统计答案。

• $O(\sqrt n)$ 枚举完全平方数 $O(\sqrt n)$ 枚举因数，时间复杂度 $O(n)$ ，可以进一步优化。

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AC-Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int main() {
	int n;	cin >> n;	ll ans = 0;
	for (int i = 1; i * i <= n; ++i) {
		int num = 0;
		for (int j = 1; j <= i; ++j)
			if (i * i % j == 0)	ans += 2;
		--ans;
	}
	cout << ans << endl;
}