C. Count Triangles(组合数学)

C. Count Triangles(组合数学)

传送门

思路：考虑所有的 $x+y$组成的可行解。

显然 $x,y,z$组成三角形 $\rightarrow x+y>z$, 因为 $z_{min}=c$，所以 $(x+y)_{min}>c$.

又因为 $x_{min}=a,y_{min}=b$.所以 $x+y$具有可行解的最小值为 $max(c+1,a+b)$.

最大值即 $b+c$.

所以 $x+y\in[max(c+1,a+b),b+c]$

接下来考虑每种 $x+y$对答案的贡献,首先考虑对于当前 $i=x+y$, $z$的取值。

显然 $z$只能取 $c,c+1\dots i-2,i-1$.又因为 $c_{max}=d$.所以

$z$可选的个数为 $cnt_z=min(d,i-1)-c+1=min(d+1,i)-c$.

接下来考虑 $x+y$可选的个数.

$y:[b,\dots,c]\\x:[a,\dots,b]\\对每个y，x的对应值为[i-c,\dots,i-b].\\因为i\geq a+b,i\leq b+c\Rightarrow i-b\geq a,i-c\leq c\\所以y的取值的范围为：[max[i-c,a],min[i-b,b]]\\即x+y可选的个数为:cnt_{x+y}=min(i-b,b)-max(i-c,a)+1个。$
根据乘法原理可得当前 $x+y$的贡献为：
$cnt_{x+y}\times cnt_z$
综上可以通过遍历 $x+y$得到答案。

时间复杂度: $O(max(b,c-a+1))$

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
typedef long long ll; 
using namespace std;
signed main(){
	ll a,b,c,d;
	cin>>a>>b>>c>>d;
	ll ans=0;
	for(ll i=max(c+1,a+b);i<=b+c;++i)
		ans+=(min(d+1,i)-c)*(min(i-b,b)-max(i-c,a)+1);
	cout<<ans<<endl;
}