【题解】AcWing 99.激光炸弹

AcWing 99.激光炸弹

题目描述

地图上有 $N$ 个目标，用整数 $X_i,Y_i$ 表示目标在地图上的位置，每个目标都有一个价值 $W_i$。

注意：不同目标可能在同一位置。

现在有一种新型的激光炸弹，可以摧毁一个包含 $R\times R$ 个位置的正方形内的所有目标。

激光炸弹的投放是通过卫星定位的，但其有一个缺点，就是其爆炸范围，即那个正方形的边必须和 $x,y$ 轴平行。

求一颗炸弹最多能炸掉地图上总价值为多少的目标。

输入格式

第一行输入正整数 $N$ 和 $R$，分别代表地图上的目标数目和正方形的边长，数据用空格隔开。

接下来 $N$ 行，每行输入一组数据，每组数据包括三个整数 $X_i,Y_i,W_i$，分别代表目标的 $x$ 坐标，$y$ 坐标和价值，数据用空格隔开。

输出格式

输出一个正整数，代表一颗炸弹最多能炸掉地图上目标的总价值数目。

数据范围

$0\le R\le 10^9$
$0<N\le 10000$,
$0\le X_i,Y_i\le 5000$
$0\le W_i\le 1000$

输入样例

2 1
0 0 1
1 1 1

输出样例

1

题目分析

因为坐标范围都在 $5000$ 以内，所以我们可以建立一个二维数组 $A$，对于每个目标，$A[X_i,Y_i]+=W_i$。我们先 $O(n^2)$ 递推出 $A$ 的二维前缀和 $S$，再枚举边长为 $R$ 的正方形的右下角坐标 $(i,j)$，通过 $S[i,j]-S[i-R,j]-S[i,j-R]+S[i-R,j-R]$ 即可算出价值之和，更新答案。

代码：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 5010;

int n, m, res;
int s[N][N];
int cnt, R;

int main(){
    
    
    cin >> cnt >> R;
    R = min(5001, R);
    n = m = 5001;
    while (cnt --){
    
    
        int x, y, w;
        cin >> x >> y >> w;
        x ++, y ++;
        s[x][y] += w;
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];

    for (int i = R; i <= n; i ++)
        for (int j = R; j <= m; j ++)
            res = max(res, s[i][j] - s[i - R][j] - s[i][j - R] + s[i - R][j - R]);

    cout << res << endl;
    return 0;
}

拓展：如果我们的坐标范围很大，二维数组存不下，该怎么办？AcWing 248. 窗内的星星即是该题的拓展版本，坐标范围达到了 $2^{31}$。对于该题，我们采用线段树中的扫描线做法，将每颗星星看作一个范围，若矩形的右上顶点在该范围内，则矩形能够包含星星。我们所要求的即是所有范围交集最大的那一点。