题目描述
小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个 mm 行 nn 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 (1,1(1,1 )，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n)(m,n) 。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 00 表示），可以用一个 0-1000−100 的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这 22 条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的 22 条路径。
输入输出格式
输入格式：
输入文件，第一行有 22 个用空格隔开的整数 mm 和 nn ，表示班里有 mm 行 nn 列。
接下来的 mm 行是一个 m \times nm×n 的矩阵，矩阵中第 ii 行 jj 列的整数表示坐在第 ii 行 jj 列的学生的好心程度。每行的 nn 个整数之间用空格隔开。
输出格式：
输出文件共一行，包含一个整数，表示来回 22 条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。
输入输出样例
输入样例#1： 复制
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
输出样例#1： 复制
34说明
【限制】
30%的数据满足： 1 \le m,n \le 101≤m,n≤10
100%的数据满足： 1 \le m,n \le 501≤m,n≤50
NOIP 2008提高组第三题
题中说把纸条传过去，然后再传回来 使得到的好心值最大，言外之意是不能走同样的路，每个格子只能走一次
那么可以简化为：
两个纸条同时从1，1出发，要求不能走同样的路，最终到达n,m即右下角
首先是非优化版：四维判断状态
4个维度分别是x1,y1,x2,y2
状态转移方程:
dp[x1][y1][x2][y2] = max_(dp[x1-1][y1][x2-1][y2],dp[x1-1][y1][x2][y2-1],dp[x1][y1-1][x2-1][y2],dp[x1][y1-1][x2][y2-1]) + a[x1][y1] + a[x2][y2];
每次从上一个状态找到最大值并加上当前的好心程度值
需要注意一点：枚举y2时 要从 y1+1开始 因为如果枚举x1=x2时 y1!=y2是一定的，而且其中一个必须大于另一个
最终状态是到达 dp[n][m-1][n-1][m] 即最后一行倒数第二个位置 和倒数第二行最后一个位置
贴代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55;
int a[N][N];
int dp[N][N][N][N];
int m, n;
int max_(int a,int b,int c,int d)
{
return max(max(a,b),max(c,d));
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1;i <= n;i ++)
{
for(int j = 1;j <= m;j ++)
cin >> a[i][j];
}
for(int x1 = 1;x1 <= n;x1 ++)
{
for(int x2 = 1;x2 <= n;x2 ++)
{
for(int y1 = 1;y1 <= m;y1 ++)
{
for(int y2 = y1 + 1;y2 <= m;y2 ++)
{
dp[x1][y1][x2][y2] = max_(dp[x1-1][y1][x2-1][y2],dp[x1-1][y1][x2][y2-1],dp[x1][y1-1][x2-1][y2],dp[x1][y1-1][x2][y2-1]) + a[x1][y1] + a[x2][y2];
}
}
}
}
cout << dp[n][m-1][n-1][m] << endl;
return 0;
}
优化版：三维判断
无论怎么走，两个纸条走的步数都一样 也就是x+y都相同 ，那么我们可以把 枚举的两层y合并成一层
即枚举x1,x2和总和K
k从1到n+m-1 从第一步到n+m-1步
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55;
int a[N][N];
int dp[N<<1][N][N];
int m, n;
int max_(int a,int b,int c,int d)
{
return max(max(a,b),max(c,d));
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1;i <= n;i ++)
{
for(int j = 1;j <= m;j ++)
cin >> a[i][j];
}
for(int k = 1;k <= n + m - 1;k ++)
{
for(int x1 = 1;x1 <= n;x1 ++)
{
for(int x2 = 1;x2 <= n;x2 ++)
{
if(k - x1 + 1 < 1 || k - x2 + 1 < 1) continue; //判断y是否非法
dp[k][x1][x2] = max_(dp[k-1][x1][x2], dp[k-1][x1-1][x2],dp[k-1][x1][x2-1],dp[k-1][x1-1][x2-1]) + a[x1][k-x1+1] + a[x2][k-x2+1];
if(x1 == x2) dp[k][x1][x2] -= a[x1][k-x1+1];
}
}
}
cout << dp[n+m-1][n][n] << endl;
return 0;
}
终极版：二维 只枚举x1,x2 省略k 采用循环数组
来自某大佬orz
#include <fstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
/*
这一部分是用来方便地转换标准io和文件io，
只需在#include <iostream>前加上//就可以转换为文件io
*/
#ifndef _GLIBCXX_IOSTREAM //这个在iostream头文件中define了，这句话的意思就是如果没有#include <iostream>则执行下面的语句
ifstream cin("0.in");
ofstream cout("0.out");
#endif
int n,m,f[210][210],a[210][210];
int main()
{
int i,j,k;
cin>>n>>m;
for (i=1;i<=n;++i)
{
for (j=1;j<=m;++j)
{
cin>>a[i][j];
}
}
f[1][2]=a[1][2]+a[2][1];
for (i=4;i<n+m;++i)
{
for (j=min(i-2,n);j>=1;--j) //注意要倒序枚举j和k
{
for (k=min(i-1,n);k>j;--k)
{
if (j>1) //这里的条件判断貌似是不需要的，但我觉得加上更好
{
f[j][k]=max(f[j][k],f[j-1][k]);
}
if (j>1&&k>1)
{
f[j][k]=max(f[j][k],f[j-1][k-1]);
}
if (k-1>j)
{
f[j][k]=max(f[j][k],f[j][k-1]);
}
f[j][k]+=a[j][i-j]+a[k][i-k];
}
}
}
cout<<f[n-1][n];
return 0;
}