Chapter11.2：离散系统数学模型与稳定性分析

该系列博客主要讲述Matlab软件在自动控制方面的应用，如无自动控制理论基础，请先学习自动控制系列博文，该系列博客不再详细讲解自动控制理论知识。
自动控制理论基础相关链接：https://blog.csdn.net/qq_39032096/category_10287468.html?spm=1001.2014.3001.5482
博客参考书籍：《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》。

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2.离散系统数学模型与稳定性分析

2.1 离散系统数学模型

2.1.1 线性常系数差分方程

对于一般的线性定常离散系统，$k$时刻的输出$c(k)$不但与$k$时刻的输入$r(k)$有关，且与$k$时刻以前的输入$r(k-1)，r(k-2)，\dots ,$有关，同时还与$k$以前的输出$c(k-1),c(k-2),\dots ,$有关；这种关系可用$n$阶后向差分方程描述：
$$\begin{array}{rl}& c(k)+a_{1}c(k-1)+a_{2}c(k-2)+\cdots +a_{n-1}c(k-n+1)+a_{n}c(k-n)\\ & \\ =& b_{0}r(k)+b_{1}r(k-1)+\cdots +b_{m-1}r(k-m+1)+b_{m}r(k-m)\end{array}$$
亦可表示为：
$$c(k)=-\sum _{i=1}^n{a}_{i}c(k-i)+\sum _{j=0}^m{b}_{j}r(k-j)$$
其中：$a_i(i=1,2,\dots ,n)、b_j(j=0,1,2,\dots ,m)$为常系数，$m\le n$；

上式称为$n$阶线性常系数差分方程；

线性定常离散系统亦可采用如下$n$阶前向差分方程描述：
$$\begin{array}{rl}& c(k+n)+a_{1}c(k+n-1)+a_{2}c(k+n-2)+\cdots +a_{n-1}c(k+1)+a_{n}c(k)\\ & \\ =& b_{0}r(k+m)+b_{1}r(k+m-1)+b_{2}r(k+m-2)+\cdots +b_{m-1}r(k+1)+b_{m}r(k)\end{array}$$
亦可表示为：
$$c(k+n)=-\sum _{i=1}^n{a}_{i}c(k+n-i)+\sum _{j=0}^m{b}_{j}r(k+m-j)$$

2.1.2 脉冲传递函数

1. 脉冲传递函数定义

   设开环离散系统如下图所示：

   

   如果系统初始条件为零，输入信号为$r(t)$，采样后$r^{\ast }(t)$的$z$变换函数为$R(z)$，系统连续部分的输出为$c(t)$，采样后$c^{\ast }(t)$的$z$变换函数为$C(z)$，则线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为：系统输出采样信号的$z$变换与输入采样信号的$z$变换之比，记为：
   $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{\sum _{n=0}^{\infty }c(nT)z^{-n}}{\sum _{n=0}^{\infty }r(nT)z^{-n}}$$

   如果已知$R(z)、G(z)$，则在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号为：
   $$c^{\ast }(t)=Z^{-1}[C(z)]=Z^{-1}[G(z)R(z)]$$
   

2. 脉冲传递函数的求法

   Example1： 设开环系统如下图所示，求相应的脉冲传递函数$G(z)$；

   

   解：

   将$G(s)$展成部分分式：
   $$G(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+a}$$
   可得：
   $$G(z)=\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-{\mathrm{e}}^{-aT}}=\frac{z(1-{\mathrm{e}}^{-aT})}{(z-1)(z-{\mathrm{e}}^{-aT})}$$

2.1.3 开环系统脉冲传递函数

1. 采样拉氏变换两个重要性质

   1. 采样函数的拉氏变换具有周期性，即：
      $$G^{\ast }(s)=G^{\ast }(s+\mathrm{j}k{\omega }_s)$$
      其中：${\omega }_s$为采样角频率；

   2. 若采样函数的拉氏变换$E^{\ast }(s)$与连续函数的拉氏变换$G(s)$相乘后再离散化，则$E^{\ast }(s)$可以从离散符号中提出来，即：
      $$[G(s)E^{\ast }(s){]}^{\ast }=G^{\ast }(s)E^{\ast }(s)$$

2. 有串联环节的开环系统脉冲传递函数

   1. 串联环节间有采样开关

      设开环离散系统如下图所示，在两个串联连接环节$G_1(s)、G_2(s)$间，有理想采样开关隔开；

      

      串联环节间有采样开关开环系统脉冲传递函数为：
      $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=G_1(z)G_2(z)$$
      有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节各自的脉冲传递函数之积，可推广到$n$个环节的串联；

   2. 串联环节间无采样开关

      设开环离散系统如下图所示，在两个串联连接环节$G_1(s)、G_2(s)$间，无理想采样开关隔开；

      

      串联环节间无采样开关开环系统脉冲传递函数为：
      $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=G_1{G}_2(z)$$
      没有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节传递函数乘积后的相应$z$变换，可推广到$n$个环节的串联；

      Example2： 设开环离散系统如下图所示，输入信号$r(t)=1(t)$，求系统$(\mathrm{a})$和$(\mathrm{b})$的脉冲传递函数$G(z)$和输出的$z$变换$C(z)$；

      

      解：

      输入$r(t)=1(t)$的$z$变换为：
      $$R(z)=\frac{z}{z-1}$$
      对于系统$(\mathrm{a})$：
      $$G_1(z)=Z\left[\frac{1}{s}\right]=\frac{z}{z-1}，G_2(z)=Z\left[\frac{a}{s+a}\right]=\frac{az}{z-{\mathrm{e}}^{-aT}}$$
      有：
      $$G(z)=G_1(z)G_2(z)=\frac{a{z}^2}{(z-1)(z-{\mathrm{e}}^{-aT})}$$

      $$C(z)=G(z)R(z)=\frac{a{z}^3}{(z-1{)}^2(z-{\mathrm{e}}^{-aT})}$$

      对于系统$(\mathrm{b})$：
      $$G_1(s)G_2(s)=\frac{a}{s(s+a)}$$
      有：
      $$G(z)=G_1{G}_2(z)=Z\left[\frac{a}{s(s+a)}\right]=\frac{z(1-{\mathrm{e}}^{-aT})}{(z-1)(z-{\mathrm{e}}^{-aT})}$$

      $$C(z)=G(z)R(z)=\frac{z^2(1-{\mathrm{e}}^{-aT})}{(z-1)(z-{\mathrm{e}}^{-aT})}$$

   3. 有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数

      设有零阶保持器的开环离散系统如下图所示：

      

      图中：$G_h(s)$为零阶保持器传递函数，$G_0(s)$为连续部分传递函数，两个串联环节间无同步采样开关隔离；

      有零阶保持器时，开环系统脉冲传递函数：
      $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=(1-z^{-1})Z\left[\frac{G_0(s)}{s}\right]$$

2.1.4 闭环系统脉冲传递函数

一种常见的误差采样闭环离散系统结构图分析：

由上图可知，连续输出信号和误差信号拉氏变换为：
$$C(s)=G(s)E^{\ast }(s)，E(s)=R(s)-H(s)C(s)$$
因此有：
$$E(s)=R(s)-H(s)G(s)E^{\ast }(s)$$
误差采样信号$e^{\ast }(t)$的拉氏变换为：
$$E^{\ast }(s)=R^{\ast }(s)-H{G}^{\ast }(s)E^{\ast }(s)$$
整理可得：
$$E^{\ast }(s)=\frac{R^{\ast }(s)}{1+H{G}^{\ast }(s)}$$
由于：
$$C^{\ast }(s)={\left[G^{\ast }(s)E^{\ast }(s)\right]}^{\ast }=G^{\ast }(s)E^{\ast }(s)=\frac{G^{\ast }(s)}{1+H{G}^{\ast }(s)}{R}^{\ast }(s)$$
因此有：
$$E(z)=\frac{1}{1+HG(z)}R(z)，C(z)=\frac{G(z)}{1+HG(z)}R(z)$$
定义闭环离散系统对于输入量的误差脉冲传递函数：
$${\Phi }_e(z)=\frac{E(z)}{R(z)}=\frac{1}{1+HG(z)}$$
定义闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数：
$$\Phi (z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{G(z)}{1+HG(z)}$$
闭环离散系统特征方程：
$$D(z)=1+HG(z)=0$$
注：只要误差信号$e(t)$处没有采样开关，输入采样信号$r^{\ast }(t)$便不存在，此时不能求出闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数，只能求出输出采样信号的$z$变换函数$C(z)$；

2.1.5 典型闭环离散系统及输出$z$变换函数

1. 前四种典型离散系统如下图：

   

   上图$C(z)$求解依次为：
   $$\begin{array}{rl}& C(z)=\frac{G(z)R(z)}{1+GH(z)}\\ & \\ & C(z)=\frac{R{G}_1(z)G_2(z)}{1+G_{2}H{G}_1(z)}\\ & \\ & C(z)=\frac{G(z)R(z)}{1+G(z)H(z)}\\ & \\ & C(z)=\frac{G_1(z)G_2(z)R(z)}{1+G_1(z)G_{2}H(z)}\end{array}$$

2. 后四种典型离散系统如下图：

   

   上图$C(z)$求解依次为：
   $$\begin{array}{rl}& C(z)=\frac{R{G}_1(z)G_2(z)G_3(z)}{1+G_2(z)G_1{G}_{3}H(z)}\\ & \\ & C(z)=\frac{RG(z)}{1+HG(z)}\\ & \\ & C(z)=\frac{G_1(z)G_2(z)R(z)}{1+G_1(z)G_2(z)H(z)}\\ & \\ & C(z)=\frac{R(z)G(z)}{1+G(z)H(z)}\end{array}$$

2.2 离散系统稳定性分析

2.2.1 $s$域到$z$域的映射

在$z$变换定义中，$z={\mathrm{e}}^{sT}$给出了$s$域到$z$域的关系，$s$域中的任意点可表示为$s=\sigma +\mathrm{j}\omega$，映射到$z$域为：
$$z={\mathrm{e}}^{(\sigma +\mathrm{j}\omega )T}={\mathrm{e}}^{\sigma T}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega T}$$
$s$域到$z$域的基本映射关系为：
$$|z|={\mathrm{e}}^{\sigma T}，\angle z=\omega T$$
令$\sigma =0$，相当于取$s$平面的虚轴，当$\omega \to -\infty$变到$\infty$时，映射到$z$平面的轨迹是以原点为圆心的单位圆；

1. 等$\sigma$线映射

   $s$平面上的等$\sigma$垂线，映射到$z$平面上的轨迹，是以原定为圆心，以$|z|={\mathrm{e}}^{\sigma T}$为半径的圆，其中：$T$为采样周期；

   

   $s$平面上的虚轴映射为$z$平面上的单位圆，因此，左半$s$平面上的等$\sigma$线映射为$z$平面上的同心圆，在单位圆内；右半$s$平面上的等$\sigma$线映射为$z$平面上的同心圆，在单位圆外；

2. 等$\omega$线映射

   在特定采样周期$T$情况下，$s$平面上的等$\omega$水平线映射到$z$平面上的轨迹，是一簇从原点出发的射线，其相角$\angle z=\omega T$从正实轴计量，如下图所示：

   

   $s$平面上$\omega ={\omega }_s/2$水平线，在$z$平面上正好映射为负实轴；

3. 等$\zeta$线映射

   $s$平面上的等$\zeta$线用下式描述：
   $$s=-\omega \tan \beta +\mathrm{j}\omega$$
   其中：$\beta$为$\zeta$线与虚轴之间的夹角；
   $$z={\mathrm{e}}^{sT}={\mathrm{e}}^{(\omega \tan \beta +\mathrm{j}\omega )T}$$
   等$\zeta$线从$s$域到$z$域的映射关系式为：
   $$|z|={\mathrm{e}}^{-(2\pi /{\omega }_s)\omega \tan \beta },\angle z=\frac{2\pi \omega }{{\omega }_s}$$
   除$\beta =0°$和$\beta =90°$外，当$\beta$为常数时，左半$s$平面上的等$\zeta$线，映射为$z$平面上单位圆内一簇收敛的对数螺旋线，其起点为$z$平面上正实轴的$1$处，终点为$z$平面的原点；

   

   设$s$平面上的主要带如下图所示，通过$z={\mathrm{e}}^{sT}$变换，映射为$z$平面上的单位圆及单位圆内的负实轴，如下图所示：

   

   $s$平面上所有的次要带，在$z$平面上映射为相同的单位圆及单位圆内的负实轴；

2.2.2 离散系统稳定的充分必要条件

在线性定常连续系统中，系统稳定的充分必要条件是：系统齐次微分方程的解是收敛的，或系统特征方程式的根均具有负实部，或系统传递函数的极点均位于左半$s$平面；

1. 时域中离散系统稳定的充分必要条件

   设线性定常差分方程为：
   $$c(k)=-\sum _{i=1}^n{a}_{i}c(k-i)+\sum _{j=0}^m{b}_{j}r(k-j)$$
   其齐次差分方程为：
   $$c(k)+\sum _{i=1}^n{a}_{i}c(k-i)=0$$
   差分方程的特征方程为：
   $${\alpha }^n+a_1{\alpha }^{n-1}+a_2{\alpha }^{n-2}+\cdots +a_n=0$$
   当特征方程的根$|{\alpha }_i|<1(i=1,2,\dots ,n)$时，必有：$\underset{k\to \infty }{\lim }c(k)=0$，因此，系统稳定的充分必要条件是：当且仅当差分方程所有特征根的模$|{\alpha }_i|<1(i=1,2,\dots ,n)$，相应的线性定常离散系统是稳定的；

2. $z$域中离散系统稳定的充分必要条件

   设离散系统特征方程为：
   $$D(z)=1+GH(z)=0$$
   $z$域中，线性定常离散系统稳定的充分必要条件：当且仅当离散系统特征方程的全部特征根均分布在$z$平面上的单位圆内，或所有特征根的模均小于1，即$|z_i|<1(i=1,2,\dots ,n)$，相应的线性定常离散系统是稳定的；

2.2.3 离散系统的稳定性判据

1. $w$变换与劳斯稳定判据

   令
   $$z=\frac{w+1}{w-1}\Rightarrow w=\frac{z+1}{z-1}$$
   复变量$z$与$w$互为线性变换，$w$变换称为双线性变换；

   $z$平面与$w$平面的对应关系如下图所示：

   

   $w$平面的虚轴对应$z$平面上的单位，圆周左半$w$平面对应于$z$平面上单位圆内的区域，右半$w$平面对应$z$平面上单位圆外的区域；

   离散系统稳定的充分必要条件：由特征方程$1+GH(z)=0$的所有根位于$z$平面上的单位圆内转换为特征方程$1+GH(w)=0$的所有根位于左半$w$平面；

2. 朱利稳定判据

   朱利判据是根据离散系统的闭环特征方程$D(z)=0$的系数，判别其根是否位于$z$平面上的单位圆内，从而判断该离散系统是否稳定。

   设离散系统$n$阶闭环特征方程为：
   $$D(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n=0,a_n>0$$
   按照下述方法构造$(2n-3)$行、$(n+1)$列朱利阵列。

   行数	$z^0$	$z^1$	$z^2$	$z^3$	$\dots$	$z^{n-k}$	$\dots$	$z^{n-1}$	$z^n$
   $1$	$a_0$	$a_1$	$a_2$	$a_3$	$\dots$	$a_{n-k}$	$\dots$	$a_{n-1}$	$a_n$
   $2$	$a_n$	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	$a_{n-3}$	$\dots$	$a_k$	$\dots$	$a_1$	$a_0$
   $3$	$b_0$	$b_1$	$b_2$	$b_3$	$\dots$	$b_{n-k}$	$\dots$	$b_{n-1}$
   $4$	$b_{n-1}$	$b_{n-2}$	$b_{n-3}$	$b_{n-4}$	$\dots$	$b_{k-1}$	$\dots$	$b_0$
   $5$	$c_0$	$c_1$	$c_2$	$c_3$	$\dots$	$c_{n-2}$
   $6$	$c_{n-2}$	$c_{n-3}$	$c_{n-4}$	$c_{n-5}$	$\dots$	$c_0$
   $⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
   $2n-5$	$p_0$	$p_1$	$p_2$	$p_3$
   $2n-4$	$p_3$	$p_2$	$p_1$	$p_0$
   $2n-3$	$q_0$	$q_1$	$q_2$

   其中：
   $$\begin{array}{rlr}& b_k=\left|\begin{array}{cc}{a}_0& a_{n-k}\\ a_n& a_k\end{array}\right|，& k=0,1,2,\dots ,n-1\\ & & \\ & c_k=\left|\begin{array}{cc}{b}_0& b_{n-k-1}\\ b_{n-1}& b_k\end{array}\right|，& k=0,1,2,\dots ,n-2\\ & & \\ & d_k=\left|\begin{array}{cc}{c}_0& c_{n-k-2}\\ c_{n-2}& c_k\end{array}\right|，& k=0,1,2,\dots ,n-3\\ & & \\ & ⋮& \\ & & \\ & q_0=\left|\begin{array}{cc}{p}_0& p_3\\ p_3& p_0\end{array}\right|，q_1=\left|\begin{array}{cc}{p}_0& p_2\\ p_3& p_1\end{array}\right|，q_2=\left|\begin{array}{cc}{p}_0& p_1\\ p_3& p_2\end{array}\right|，& \end{array}$$
   朱利稳定判据：

   特征方程$D(z)=0$的根，全部位于$z$平面上单位圆内的充分必要条件是：
   $$D(1)>0，D(-1)\{\begin{array}{l}>0，当n为偶数时\\ <0，当n为奇数时\end{array}$$
   及以下$n-1$个约束条件成立：
   $$|a_0|<a_n,|b_0|>|b_{n-1}|,|c_0|>|c_{n-2}|,|d_0|>|d_{n-3}|,\dots ,|q_0|>|q_2|$$

2.2.4 离散系统的稳态误差

设单位反馈误差采样系统如下图所示：

其中：$G(s)$为连续部分的传递函数，$e(t)$为系统连续误差信号，$e^{\ast }(t)$为系统采样误差信号，其$z$变换为：
$$E(z)=R(z)-C(z)=[1-\Phi (z)]R(z)={\Phi }_e(z)R(z)$$
其中：
$${\Phi }_e(z)=\frac{E(z)}{R(z)}=\frac{1}{1+G(z)}$$
如果${\Phi }_e(z)$的极点全部位于$z$平面上的单位圆内，即若离散系统是稳定的，可用$z$变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差：
$$e_{ss}(\infty )=\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{\ast }(t)=\underset{z\to 1}{\lim }(1-z^{-1})E(z)=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{(z-1)R(z)}{z[1+G(z)]}$$

2.2.5 离散系统的型别与静态误差系数

在离散系统中，把开环脉冲传递函数$G(z)$具有$z=1$的极点数$\nu$作为划分离散系统型别的标准，把$G(z)$中$\nu =0,1,2,\dots$的系统，称为$0$型、Ⅰ型和Ⅱ型离散系统等；

1. 单位阶跃输入时的稳态误差

   当系统输入为单位阶跃函数$r(t)=1(t)$时，$z$变换函数为：
   $$R(z)=\frac{z}{z-1}$$
   稳态误差为：
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{1}{1+G(z)}=\frac{1}{\underset{z\to 1}{\lim }[1+G(z)]}=\frac{1}{K_p}$$
   其中静态位置误差系数为：
   $$K_p=\underset{z\to 1}{\lim }[1+G(z)]$$
   在单位阶跃函数作用下，$0$型离散系统在采样瞬时存在位置误差，Ⅰ型及Ⅰ型以上的离散系统，在采样瞬时没有位置误差；

2. 单位斜坡输入时的稳态误差

   当系统输入为单位斜坡函数$r(t)=t$时，$z$变换函数为：
   $$R(z)=\frac{Tz}{(z-1{)}^2}$$
   稳态误差为：
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{T}{(z-1)[1+G(z)]}=\frac{T}{\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)G(z)}=\frac{T}{K_v}$$
   其中静态速度误差系数为：
   $$K_v=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)G(z)$$
   $0$型离散系统不能承受单位斜坡函数作用，Ⅰ型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度误差，Ⅱ型及Ⅱ型以上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差；

3. 单位加速度输入时的稳态误差

   当系统输入为单位加速度函数$r(t)=t^2/2$时，$z$变换函数为：
   $$R(z)=\frac{T^{2}z(z+1)}{2(z-1{)}^3}$$
   稳态误差为：
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{T^2(z+1)}{2(z-1{)}^2[1+G(z)]}=\frac{T^2}{\underset{z\to 1}{\lim }(z-1{)}^{2}G(z)}=\frac{T^2}{K_a}$$
   其中静态加速度误差系数为：
   $$K_a=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1{)}^{2}G(z)$$
   $0$型和Ⅰ型离散系统不能承受单位加速度函数作用，Ⅱ型离散系统在单位加速度函数作用下存在加速度误差，Ⅲ型及Ⅲ型以上的离散系统在单位加速度函数作用下，不存在采样瞬时的稳态误差；

   单位反馈离散系统的稳态误差小结：

   系统类型	位置误差$r(t)=1(t)$	速度误差$r(t)=t$	加速度误差$r(t)=\frac{1}{2}{t}^2$
   $0$型	$\frac{1}{K_p}$	$\infty$	$\infty$
   Ⅰ型	$0$	$\frac{T}{K_v}$	$\infty$
   Ⅱ型	$0$	$0$	$\frac{T^2}{K_a}$
   Ⅲ型	$0$	$0$	$0$

2.3 离散系统的数字校正

2.3.1 数字控制器的脉冲传递函数

设离散系统如下图所示：

其中：$D(z)$为数字控制器的脉冲传递函数，$G(z)$为保持器与被控对象的传递函数，$H(s)$为反馈测量装置的传递函数；

设$H(s)=1$，$G(s)$的$z$变换为$G(z)$，可得系统的闭环脉冲传递函数：
$$\Phi (z)=\frac{D(z)G(z)}{1+D(z)G(z)}=\frac{C(z)}{R(z)}$$
误差脉冲传递函数：
$${\Phi }_e(z)=\frac{1}{1+D(z)G(z)}=\frac{E(z)}{R(z)}$$
可得数字控制器的脉冲传递函数为：
$$D(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z)[1-\Phi (z)]}=\frac{1-{\Phi }_e(z)}{G(z){\Phi }_e(z)}，{\Phi }_e(z)=1-\Phi (z)$$

2.3.2 最少拍系统设计

最少拍系统：指在典型输入作用下，能以有限拍结束响应过程，且在采样时刻上无稳态误差的离散系统；

常见的典型输入：单位阶跃函数、单位速度函数、单位加速度函数；
$$\begin{array}{rl}& Z\left[1(t)\right]=\frac{z}{z-1}=\frac{1}{1-z^{-1}}\\ & \\ & Z\left[t\right]=\frac{Tz}{(z-1{)}^2}=\frac{T{z}^{-1}}{(1-z^{-1}{)}^2}\\ & \\ & Z\left[\frac{1}{2}{t}^2\right]=\frac{T^{2}z(z+1)}{2(z-1{)}^3}=\frac{\frac{1}{2}{T}^2{z}^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1}{)}^3}\end{array}$$
典型输入可表示为一般形式：
$$R(z)=\frac{A(z)}{(1-z^{-1}{)}^m}$$
其中：$A(z)$是不含$(1-z^{-1})$因子的$z^{-1}$多项式；

最少拍系统的设计原则：若系统广义被控对象$G(z)$无延迟且在$z$平面单位圆上及单位圆外无零极点，要求选择闭环脉冲传递函数$\Phi (z)$，使系统在典型输入作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数$D(z)$；

误差信号$e(t)$的$z$变换为：
$$E(z)={\Phi }_e(z)R(z)=\frac{{\Phi }_e(z)A(z)}{(1-z^{-1}{)}^m}$$
离散系统的稳态误差为：
$$e_{ss}(\infty )=\underset{z\to 1}{\lim }(1-z^{-1})E(z)=\underset{z\to 1}{\lim }(1-z^{-1})\frac{A(z)}{(1-z^{-1}{)}^m}{\Phi }_e(z)$$
使$e_{ss}(\infty )$为零的条件是：${\Phi }_e(z)$中包含$(1-z^{-1}{)}^m$的因子，即：
$${\Phi }_e(z)=(1-z^{-1}{)}^{m}F(z)$$
其中：$F(z)$不含$(1-z^{-1})$因子的多项式，为了$D(z)$简单，阶数最低，取$F(z)=1$。

1. 单位阶跃输入

   由$r(t)=1(t)$时有$m=1,A(z)=1$可得：
   $${\Phi }_e(z)=1-z^{-1},\Phi (z)=z^{-1}$$
   数字控制器脉冲传递函数为：
   $$D(z)=\frac{z^{-1}}{(1-z^{-1})G(z)}，E(z)=\frac{A(z)}{(1-z^{-1}{)}^m}{\Phi }_e(z)=1$$
   $e(0)=1,e(T)=e(2T)=\cdots =0$，可见，最少拍系统经过一拍即可完全跟踪输入$r(t)=1(t)$，这样的离散系统称为一拍系统，$t_s=T$；

2. 单位斜坡输入

   由$r(t)=t$时，有$m=2,A(z)=T{z}^{-1}$，可得：
   $${\Phi }_e(z)=(1-z^{-1}{)}^{m}F(z)=(1-z^{-1}{)}^2，\Phi (z)=1-{\Phi }_e(z)=2z^{-1}-z^{-2}$$
   数字控制器脉冲传递函数为：
   $$D(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z){\Phi }_e(z)}=\frac{z^{-1}(2-z^{-1})}{(1-z^{-1}{)}^{2}G(z)}，E(z)=\frac{A(z)}{(1-z^{-1}{)}^m}{\Phi }_e(z)=T{z}^{-1}$$
   $e(0)=0,e(T)=T,e(2T)=e(3T)=\cdots =0$，最少拍系统经过二拍即可完全跟踪输入$r(t)=t$，这样的离散系统称为二拍系统，其调节时间$t_s=2T$；

3. 单位加速度输入

   由于$r(t)=t^2/2$时，有$m=3,A(z)=\frac{1}{2}{T}^2{z}^{-1}(1+z^{-1})$，可得：
   $${\Phi }_e(z)=(1-z^{-1}{)}^3，\Phi (z)=3z^{-1}-3z^{-2}+z^{-3}$$
   数字控制脉冲传递函数为：
   $$D(z)=\frac{z^{-1}(3-3z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1}{)}^{3}G(z)}，E(z)=A(z)=\frac{1}{2}{T}^2{z}^{-1}+\frac{1}{2}{T}^2{z}^{-2}$$
   输出脉冲序列为：
   $$C(z)=\Phi (z)R(z)=\frac{3}{2}{T}^2{z}^{-2}+\frac{9}{2}{T}^2{z}^{-3}+\cdots +\frac{n^2}{2}{T}^2{z}^{-n}+\cdots +$$
   有：
   $$\begin{array}{rl}& e(0)=0,e(T)=\frac{1}{2}{T}^2,e(2T)=\frac{1}{2}{T}^2,e(3T)=e(4T)=\cdots =0\\ & \\ & c(0)=c(T)=0,c(2T)=1.5T^2,c(3T)=4.5T^2,\cdots \end{array}$$
   最少拍系统经过三拍即可完全跟踪输入$r(t)=t^2/2$，这样的离散系统称为三拍系统，调节时间为$t_s=3T$；

4. 最少拍系统的设计结果

   

   小结：

   • 从快速性而言，按单位斜坡输入设计的最少拍系统，在各种典型输入作用下，其动态过程均为二拍；
   • 从准确性而言，系统对单位阶跃输入和单位斜坡输入，在采样时刻均无稳态误差，对单位加速度输入，采样时刻上的稳态误差为常量$T$；
   • 从动态性能而言，系统对单位斜坡输入下的响应性能较好，因为系统本身就是针对此设计的，但系统对单位阶跃输入响应性能较差，有$100\%$的超调量，因此按某种典型输入设计的最少拍系统，适应性较差；
   • 从平稳性而言，在各种典型输入作用下系统进入稳态后，在非采样时刻一般均存在纹波，从而增加系统的机械磨损；

5. 实例分析

   Example8： 设单位反馈线性定常离散系统的连续部分和零阶保持器的传递函数分别为：
   $$G_0(s)=\frac{10}{s(s+1)}，G_h(s)=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-sT}}{s}$$
   其中采样周期为$T=1s$；要求系统在单位斜坡输入时实现最少拍控制，求数字控制器脉冲传递函数$D(z)$。

   解：

   系统开环传递函数：
   $$G(s)=G_0(s)G_h(s)=\frac{10(1-e^{-sT})}{s^2(s+1)}$$
   因为：
   $$Z\left[\frac{1}{s^2(s+1)}\right]=\frac{Tz}{(z-1{)}^2}-\frac{(1-{\mathrm{e}}^{-T})z}{(z-1)(z-{\mathrm{e}}^{-T})}$$
   因此有：
   $$G(z)=10(1-z^{-1})\left[\frac{Tz}{(z-1{)}^2}-\frac{(1-{\mathrm{e}}^{-T})z}{(z-1)(z-{\mathrm{e}}^{-T})}\right]=\frac{3.68z^{-1}(1+0.717z^{-1})}{(1-z^{-1})(1-0.368z^{-1})}$$
   其中，$r(t)=t$，闭环脉冲传递函数和误差脉冲传递函数：
   $$\Phi (z)=2z^{-1}(1-0.5z^{-1})，{\Phi }_e(z)=(1-z^{-1}{)}^2$$
   可得：
   $$D(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z){\Phi }_e(z)}=\frac{0.543(1-0.368z^{-1})(1-0.5z^{-1})}{(1-z^{-1})(1+0.717z^{-1})}$$

2.3.3 无纹波最少拍系统设计

无纹波最少拍系统的设计要求：在某一种典型输入作用下设计的系统，其输出响应经过尽可能少的采样周期后，不仅在采样时刻输出可以完全跟踪输入，且在非采样时刻不存在纹波；

1. 无纹波最少拍系统的必要条件

   为了在稳态过程中获得无纹波的平滑输出$c^{\ast }(t)$，被控对象$G_0(s)$必须有能力给出与输入$r(t)$相同的平滑输出$c(t)$；

   若针对单位斜坡输入$r(t)=t$设计最少拍系统，则$G_0(s)$的稳态输出也必须是斜坡函数，因此，$G_0(s)$必须至少有一个积分环节，使被控对象在零阶保持器常值输出信号作用下，稳态输出为等速变化量；若针对单位加速度输入$r(t)=t^2/2$设计最少拍系统，则$G_0(s)$至少应包括两个积分环节；

   若输入信号为：
   $$r(t)=R_0+R_{1}t+\frac{1}{2}{t}^2+\cdots +\frac{1}{(q-1)!}{R}_{q-1}{t}^{q-1}$$
   无纹波最少拍系统的必要条件：被控对象传递函数$G_0(s)$中，至少包含$(q-1)$个积分环节；

2. 无纹波最少拍系统的附加条件
   $$D(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z){\Phi }_e(z)}\Rightarrow D(z){\Phi }_e(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z)}$$
   设广义对象脉冲传递函数为：
   $$G(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$$
   其中：$P(z)$为$G(z)$的零点多项式，$Q(z)$为$G(z)$的极点多项式；

   则有：
   $$D(z){\Phi }_e(z)=\frac{\Phi (z)Q(z)}{P(z)}$$
   $D(z){\Phi }_e(z)$成为$z^{-1}$有限多项式的条件是：$\Phi (z)$的零点应抵消$G(z)$的全部零点，即有：
   $$\Phi (z)=P(z)M(z)$$
   其中：$M(z)$为待定$z^{-1}$多项式；上式为无纹波最少拍系统的附加条件。

3. 无纹波最少拍系统设计

   Example9： 设单位反馈线性定常离散系统的连续部分和零阶保持器的传递函数分别为：
   $$G_0(s)=\frac{10}{s(s+1)}，G_h(s)=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-sT}}{s}$$
   其中采样周期为$T=1s$；要求系统在单位斜坡输入时实现无纹波最少拍控制，求数字控制器脉冲传递函数$D(z)$。

   解：

   系统开环传递函数：
   $$G(s)=G_0(s)G_h(s)=\frac{10(1-{\mathrm{e}}^{-sT})}{s^2(s+1)}$$
   因为：
   $$Z\left[\frac{1}{s^2(s+1)}\right]=\frac{Tz}{(z-1{)}^2}-\frac{(1-{\mathrm{e}}^{-T})z}{(z-1)(z-{\mathrm{e}}^{-T})}$$
   因此有：
   $$G(z)=10(1-z^{-1})\left[\frac{Tz}{(z-1{)}^2}-\frac{(1-e^{-T})z}{(z-1)(z-e^{-T})}\right]=\frac{3.68z^{-1}(1+0.717z^{-1})}{(1-z^{-1})(1-0.368z^{-1})}$$
   可见，$G(z)$有一个零点$z=-0.717$，有一个延迟因子$z^{-1}$，且在单位圆上有一个极点$z=1$；

   零点补偿，根据无纹波附加条件，$G(z)$中$z=-0.717$零点应被$\Phi (z)$零点对消；

   因此，令$M(z)=a+b{z}^{-1}$，其中$a、b$待定，选择：
   $$\Phi (z)=z^{-1}(1+0.717z^{-1})(a+b{z}^{-1})$$
   由最少拍条件下，在单位斜坡输入下，
   $${\Phi }_e(z)=(1-z^{-1}{)}^2，\Phi (z)=2z^{-1}(1-0.5z^{-1})$$
   因无纹波时，要求$\Phi (z)$比有纹波时增加一阶，选择：
   $${\Phi }_e(z)=(1-z^{-1}{)}^2(1+c{z}^{-1})$$
   其中：$c$待定；

   可得：
   $$1-{\Phi }_e(z)=(2-c)z^{-1}+(2c-1)z^{-2}-c{z}^{-3}$$

   $$\Phi (z)=z^{-1}(1+0.717z^{-1})(a+b{z}^{-1})=a{z}^{-1}+(b+0.717a)z^{-2}+0.717b{z}^{-3}$$

   对应系数相等，可得：
   $$a=1.408,b=-0.826,c=0.592$$
   因此：
   $$\Phi (z)=1.408z^{-1}(1+0.717z^{-1})(1-0.587z^{-1})$$

   $${\Phi }_e(z)=(1-z^{-1}{)}^2(1+0.592z^{-1})$$

   可得：
   $$D(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z){\Phi }_e(z)}=\frac{0.383(1-0.368z^{-1})(1-0.587z^{-1})}{(1-z^{-1})(1+0.592z^{-1})}$$

2.3.4 PID数字控制器的实现

$\mathrm{PID}$控制器的传递函数为：
$$D(s)=\frac{U(s)}{X(s)}=K_1+\frac{K_2}{s}+K_{3}s$$
将其中的微分项和积分项进行离散化处理，可以得到$\mathrm{PID}$控制器的数字实现；
u ( k T ) = d x d t ∣ t = k T = 1 T { x ( k T ) − x [ ( k − 1 ) T ] } u(kT)=\left.\frac{ {\rm d}x}{ {\rm d}t}\right|_{t=kT}=\frac{1}{T}\left\{x(kT)-x[(k-1)T]\right\} u(kT)=dtdx​ ​t=kT​=T1​{ x(kT)−x[(k−1)T]}
即：
$$U(z)=\frac{(1-z^{-1})}{T}X(z)=\frac{z-1}{Tz}X(z)$$

$$u(kT)=u[(k-1)T]+Tx(kT)$$

即：
$$U(z)=z^{-1}U(z)+TX(z)$$
整理可得：
$$U(z)=\frac{Tz}{z-1}X(z)$$
$\mathrm{PID}$控制器在$z$域的传递函数为：
$$D(z)=\frac{U(z)}{X(z)}=K_1+K_2\frac{Tz}{z-1}+K_3\frac{z-1}{Tz}$$
记$x(kT)=x(k)$，可得$\mathrm{PID}$控制器的差分方程：
$$\begin{array}{rl}u(k)& =K_{1}x(k)+K_2[u(k-1)+Tx(k)]+\frac{K_3}{T}[x(k)-x(k-1)]\\ & \\ & =\left[K_1+K_{2}T+\frac{K_3}{T}\right]x(k)-\frac{K_3}{T}x(k-1)+K_{2}u(k-1)\end{array}$$