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二进制的科学计数法
浮点数在电脑中用二进制储存，约定以二进制的科学计数法来进行表示一个浮点数，类比十进制的科学计数法，很容易知道，二进制的科学计数法的首位数字一定为1，然后通过乘以相应的底数为2的指数来得到二进制数，如下所示。
下面等号左边是原二进制数，右边就是其二进制的科学计数表示。和十进制一样，二进制的科学计数表示之后，也具有有效数字（尾数）、底数和指数，只是二进制的有效数字由0和1组成，底数为2。
浮点数的二进制表示
所以，浮点数的二进制表示包括符号、尾数和指数。比如对于32位浮点数来说，1位符号位、23为尾数位和8位指数位；对于64位浮点数来说，1位符号位、52位尾数位和11位指数位。尾数以二进制的科学计数法约定表示，因为对于所有约定的规约数来说，首位都是1，所以首位的1会被默认省去，所以对于64位浮点数，其有效精度可以达到二进制的53位；指数的底数为2，由于为了表示小数，故指数也有正负，为了表示负数，所以指数通过移码的方式进行转化。
以64位浮点数为例，如下所示。从0-63共有64个bit，其中首位用来表示符号，0为正，1为负。接下来11位bit用来储存指数，剩下的52位用来储存尾数。
符号位、尾数和指数（以64位浮点数为例）
符号位很简单，就是约定0表示正，1表示负。对于尾数，其有52位bit，但是根据二进制的科学计数法，首位都为1，因此我们可以省略掉这个1，这样子52位都可以用来储存尾数的小数部分，因此实际上52位尾数小数的有效尾数有共有53位，只是首位的1被省略了。对于指数，有11bit，但是为了表示负数，采用二进制指数值-偏移量的计算方式得到计算中的指数值；比如64位的指数偏移量约定为1023，11bit可以表示的值的范围为0~2047的整数，但是这里真正被用作指数计算的只有1~2046，0和2047这两个数字被剔除，以用来表示特殊值，这个文章后面再说明；因此，1~2016减去偏移量1023后，真正的指数取值范围为-1022~1023。所以64位浮点数的具体的二进制表示方式如下。
0、规约数和非规约数
So far so good! 问题来了，怎么表示0？由于上述定义中，尾数始终是大于1的，所以无论如何也无法得到0，因此0这个需要特殊定义。根据上述的定义，即指数范围在1~2046之间，有效数字首位为1的浮点数，叫做规约数（normal numbers）。同时还注意到，上述在讲指数的时候，有两个值是没有用到的，即0和2047，对应着指数部分11个bit分别全部为0和全部为1的情形。所以为了表示0，约定当指数部分全部为0，且尾数小数部分也全为0的时候，表示0；要注意的是，虽然本文这里说的是尾数的小数部分全为0，但是实际上这时，首位隐藏的1变成了0。
接下来的问题是，如果指数部分全为0，但是尾数的小数部分不全为0，这时该表示什么？因为对于规约数的定义，我们研究指数部分的值在1~2046之间，而指数为0时，就超出了规约数定义的范围了，因此，当指数为0，但是尾数小数部分不全为0时，我们定义这样的数为非规约数（denormal numbers or subnormal numers）。要注意的是，非规约数的指数一定是为0的，但是这时偏移量变成了1022；即当指数为0时，那么不仅尾数首位隐藏值从1变成0，而且约定偏移量这时为1022，即移码后的指数依然保持-1022不变（注意不是-1023），以该移码后的指数（即-1022）去计算非规约数的大小。
无穷大和空值NaN
至此，我们还有一个数没有说明，那就是指数的2047，即指数全为1时的情形。我们约定，当指数全为1，且尾数小数部分全为0时，表示无穷大，然后根据符号的不同，有正无穷大和负无穷大。但是当指数全为1，但是尾数的小数部分不全为0时，表示什么呢？这样的数字实际上是未定义的，所以约定其为NaN（Not a Number），所以可知，实际上NaN的情形是很多的，在对NaN进行比较时，系统约定其是不相等的，因为我们不能通过等号来判断NaN值，由于NaN实际上也有有二进制表示的，所以其不是一个空对象，也不能用是否为空对象来判断；这也是为什么pandas中判断一个值是否为NaN需要使用规定的函数，不能直接使用等号判断和空对象判断的原因，具体的pandas中的判断方式可以看这篇文章。