Javascript IEEE754标准的浮点数二进制表示、浮点数运算及Js为啥0.1+0.2!=-0.3

  之前写过一篇“谈谈JavaScript的算数运算、浮点数二进制表示舍入误差及比较、类型转换和变量声明提前问题”，当时主要是阐述浮点数运算产生的舍入误差及js类型转换和变量申明提前问题，所以只是略微提及了js中浮点数二进制表示问题。现在回过头来看，如果不掌握IEEE754标准的浮点数二进制表示，是不会彻底理解js浮点数运算的舍入误差及类似0.1+0.2!=0.3浮点数比较问题。因此本文将要讨论的“Javascript IEEE754标准浮点数二进制表示、浮点数运算及Js为啥0.1+0.2!=-0.3”更多地是对之前博文的补充。

1、二进制小数如何表示

我们先来了解下浮点数10.15，用二进制如何表示？
整数部分，大家应该很熟悉，(10)₁₀ = (1010)₂
小数部分，我们按乘2余1法则，将十进制小数转为二进制小数，具体如下：

0.15 * 2 = 0.3 < 1,		0
0.3 * 2 = 0.6 < 1, 		0
0.6 * 2 = 1.2 > 1,		1
0.2 * 2 = 0.4 < 1,		0
0.4 * 2 = 0.8 < 1,		0
0.8 * 2 = 1.6 > 1,		1
0. 6 * 2 = 1.2 > 1,		1，开始1001循环啦

则0.15转换成二进制：00100110011001…1001…1001 = 0 * 2^-1 + 0 *2^-2 + 1 * 2^-3 + … = 0.125 + …
其实大家已经看出来了，由于二进制存储位数限制，不可能一直循环下去，因此0.15用二进制表示时，必然产生舍入精度失真问题。

至此，我们可以得到看上去有点像的二进制小数啦：

• (10.15)₁₀ = (1010.00100110011001…1001…1001)₂
• (10.5)₁₀ = (1010.1)₂

再仔细看1010.00100110011001…1001…1001，1010.1，还有小数点呢，让只认识0和1的cpu、寄存器情何以堪？为此，我们需要进一步处理，将符号、小数点也数字化，基本思路就是：

• 0 表示正数，1表示负数，将符号1，0数字化；
• 用科学计数将小数整数化；

本文以IEEE754为例，我们看下十进制浮点数如何表示成二进制浮点数进行存储。

2、IEEE754标准解读

IEEE，电气和电子工程师协会( 全称是Institute of Electrical and Electronics Engineers)是一个国际性的电子技术与信息科学工程师的协会，是目前全球最大的非营利性专业技术学会，IEEE 754 标准是IEEE二进位浮点数算术标准（IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic）的标准编号。
IEEE 浮点标准表示： V = (-1)^s * M * 2^E ，其中：

• s 是符号位，0表示正，1表示负；
• M为尾数，是一个二进制小数，它的范围是0至1-ε，或者1至2-ε（ε的值一般是2^-k次方，其中设k > 0）
• E为阶码，可正可负，作用是给尾数加权。

  一般来说，现在的编译器都支持两种浮点格式，一种是单精度，一种是双精度。单双精度分别对应于编程语言当中的float和double类型。其中float是单精度的，采用32位二进制表示，其中1位符号位，8位阶码以及23位尾数。double是双精度的，采用64位二进制表示，其中1位符号位，11位阶码以及52位尾数，js中的浮点数就是双进度的。如下表所示：

数据类型	符号位	阶码	尾数	总位数	偏移值
单精度	1	8	23	32	127
双精度	1	11	52	64	1023

我们以javascript为例，其浮点数是64位，因此一个十进制浮点数(10.5)转换成二进制，如下：
1）尾数是有限位（如1/2,1/4,1/8, x/2ⁿ等），以上文提及的10.5为例：

• 确定符号位，正数，s = 0；
• 确定阶数
  10.5 = 1010.1 = 1.0101 * 2 ³，因此阶数 = 3，阶码 = 3 + 1023 = 1026 = 10000000010
• 尾数，0101，不足52位的，右侧补0，因此10.5 用二进制表示，如下:
  0 10000000010 0101000000000000000000000000000000000000000000000000
• 小数点前面的1去哪里了？由于规格化尾数最高位总是“1”，所以直接隐藏掉，这样可以多出1位存储位置，提高精度

2）尾数是无限循环，以上文提及的10.15为例：

• 确定符号位，正数，s = 0；
• 确定阶数
  10.15 = 1010.00100110011001…1001…1001 = 1.0100010011001… * 2 ³，因此阶数 = 3，阶码 = 3 + 1023 = 1026 = 10000000010
• 尾数，超出52位，第53位进行舍入并丢弃53位后面的位数，因此
  10.15 = 0 10000000010 0100010011001100110011001100110011001100110011001100 1
  尾数部分是01000+12个1001循环，其实还可以循环下去，由于存储位数限制，只能是52位，黄色标注部分已经是5 + 12*4 = 53位啦，因此最后1位1要进行舍入操作，1入0舍，因此最终：
  10.15 = 0 10000000010 0100010011001100110011001100110011001100110011001101

3）两个转换工具，十进制浮点数转二进制表示，十六进制浮点数转十进制

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• 十进制浮点数转二进制：IEEE-754.old/Decimal.html
• 十六进制浮点数转二进制：IEEE-754.old/64bit.html

3、0.1+0.2!=0.3说明

假设：x = 0.1 = 1.1001100… * 2 ^-4
0 01111111011 1001100110011001100110011001100110011001100110011010
y = 0.2 = 1.100110011… * 2 ^-3
0 01111111100 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

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大学教材里，浮点数运算，都是双符号位补码、移码进行运算，本文试着以IEEE754标准进行浮点数运算。浮点数运算都有下述几个步骤：

• 对阶，小阶向大阶对齐；
• 尾数运算；
• 规格化处理；
• 舍入处理；
• 溢出判断；

1）对阶处理

• x 阶码 = 01111111011
• y 阶码 = 01111111100
• x-y 阶码 = 01111111011 - 01111111100 = 01111111011 + (-01111111100)_补
  = 01111111011 + 10000000100 = 111111111111_补 = -1
  即 x阶码需要+1，尾数需要右移一位，采用舍入法则，末位0舍去，如下：
  x = 0 01111111100 1100110011001100110011001100110011001100110011001101
  y = 0 01111111100 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

2）尾数向加

对尾数（52位）+ 1位隐藏位（通常是1）进行运算，如果尾数发生右移（随带隐藏位发生右移），则默认补0。

x: 0.1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1101
+y 1.1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010
---------------------------------------------------------------------
  10.0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0111

3）结果规格化

简单理解就是尾数是否1.xxxxxx格式，目前是10.xxx，因此需要做规格化处理，即尾数需要右移1位（也称右规），同时阶码+1，如下：

1.00110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 011(1)
0 01111111101 0011001100110011001100110011001100110011001100110011(1)

规格化后，尾数高位1，隐藏不显示。

4）舍入处理

规格化时，尾数末位如果是1，直接移除将会丢失进度，因此需要舍入处理，通常采用“1入0舍”法，本例尾数末位是1，因此需要“入”，即+1处理

  0 01111111101 0011001100110011001100110011001100110011001100110011
+ 0 01111111101 0000000000000000000000000000000000000000000000000001
= 0 01111111101 0011001100110011001100110011001100110011001100110100

5）溢出判断

结果：0 01111111101 0011001100110011001100110011001100110011001100110100，没右发生溢出，故0.1+0.2结果为：
0 01111111101 0011001100110011001100110011001100110011001100110100
转16进制：3fd3333333333334，用工具IEEE-754.old/64bit.html，得到十进制浮点数结果为：
0.1+0.2 = 0.30000000000000004

4、总结

至此，我们已经了解IEEE754标准的浮点数二进制表示，浮点数简单运算，包括：

• 十进制浮点数如何按IEEE754标准表示为二进制浮点数；
• 二进制浮点数加法运算；
• 解释了javascript中为啥：0.1+0.2=0.30000000000000004 != 0.3；
• 除此之外，还推荐了两个IEEE的数进制转换工具；