非零矩阵A可以写成某个列满秩矩阵与某个行满秩矩阵的乘积
- 引理：设 A A A 是 m × r m\times r m×r 矩阵，则 A A A 是列满秩的充要条件为存在 m × m m\times m m×m 可逆矩阵 P P P，使 A = P ( E r O ) , A=P\begin{pmatrix}E_r\\O\end{pmatrix}, A=P(ErO),同样地， A A A 为行满秩的充要条件为存在 r × r r\times r r×r 的可逆矩阵 Q Q Q, 使 A = Q ( E m O ) . A=Q\begin{pmatrix}E_m&O\end{pmatrix}. A=Q(EmO).
- 定理：设 m × n m\times n m×n 矩阵 A A A 的秩为 r r r,则有 m × r m\times r m×r 列满秩矩阵 P P P 和 r × n r\times n r×n 行满秩矩阵 Q Q Q 使 A = P Q A=PQ A=PQ
引理：设 A A A 是 m × r m\times r m×r 矩阵，则 A A A 是列满秩的充要条件为存在 m × m m\times m m×m 可逆矩阵 P P P，使 A = P ( E r O ) , A=P\begin{pmatrix}E_r\\O\end{pmatrix}, A=P(ErO),同样地， A A A 为行满秩的充要条件为存在 r × r r\times r r×r 的可逆矩阵 Q Q Q, 使 A = Q ( E m O ) . A=Q\begin{pmatrix}E_m&O\end{pmatrix}. A=Q(EmO).
证明： 以下只证明列满秩的情况
如果有
A m × r = P ( E r O ) A_{m\times r}=P\begin{pmatrix}E_r\\O\end{pmatrix} Am×r=P(ErO)
那么
r a n k ( A ) = r a n k ( E r o ) = r {\rm rank}(A)={\rm rank}\begin{pmatrix}E_r\\o\end{pmatrix}=r rank(A)=rank(Ero)=r
所以 A A A 是列满秩的。
如果 A m × r A_{m\times r} Am×r 是列满秩的，则它的标准型为
( E r O ) m × r \begin{pmatrix}E_r\\O\end{pmatrix}_{m\times r} (ErO)m×r
即有 L m × m , Q r × r L_{m\times m},Q_{r\times r} Lm×m,Qr×r,可逆,使
A = L ( E r O ) Q = L ( E r Q O ) = L ( Q E r O ) = L ( Q O O E m − r ) ( E r O ) \begin{aligned} A&=L\begin{pmatrix}E_r\\O\end{pmatrix}Q\\ &=L\begin{pmatrix}E_rQ\\O\end{pmatrix}\\ &=L\begin{pmatrix}QE_r\\O\end{pmatrix}\\ &=L\begin{pmatrix}Q &O\\O&E_{m-r}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_r\\O\end{pmatrix} \end{aligned} A=L(ErO)Q=L(ErQO)=L(QErO)=L(QOOEm−r)(ErO)
令 P = L ( Q O O E m − r ) P=L\begin{pmatrix}Q &O\\O&E_{m-r}\end{pmatrix} P=L(QOOEm−r),则 P P P 即为所求.
定理：设 m × n m\times n m×n 矩阵 A A A 的秩为 r r r,则有 m × r m\times r m×r 列满秩矩阵 P P P 和 r × n r\times n r×n 行满秩矩阵 Q Q Q 使 A = P Q A=PQ A=PQ
A A A 的秩为 r r r,有可逆矩阵 P ˉ m × m , Q ˉ n × n \bar{P}_{m\times m},\bar{Q}_{n\times n} Pˉm×m,Qˉn×n,使得
A = P ˉ m × m ( E r O O O ) m × n Q ˉ n × n = P ˉ m × m ( E r O ) m × r ( E r O ) r × n Q ˉ n × n = P m × r Q r × n \begin{aligned}A&=\bar{P}_{m\times m}\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}_{m\times n}\bar{Q}_{n\times n}\\ &=\bar{P}_{m\times m}\begin{pmatrix}Er\\O\end{pmatrix}_{m\times r}\begin{pmatrix}E_r&O\end{pmatrix}_{r\times n}\bar{Q}_{n\times n}\\ &=P_{m\times r}Q_{r\times n}\end{aligned} A=Pˉm×m(ErOOO)m×nQˉn×n=Pˉm×m(ErO)m×r(ErO)r×nQˉn×n=Pm×rQr×n
其中
P m × r = P ˉ m × m ( E r O ) m × r P_{m\times r}=\bar{P}_{m\times m}\begin{pmatrix}Er\\O\end{pmatrix}_{m\times r} Pm×r=Pˉm×m(ErO)m×r
Q r × n = ( E r O ) r × n Q ˉ n × n Q_{r\times n}=\begin{pmatrix}E_r&O\end{pmatrix}_{r\times n}\bar{Q}_{n\times n} Qr×n=(ErO)r×nQˉn×n
由引理， P m × r P_{m\times r} Pm×r 列满秩， Q r × n Q_{r\times n} Qr×n 行满秩，结论得证。