秩一矩阵的优良性质

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前言：仅个人小记
秩一矩阵非常漂亮的五个性质：
（1）秩一矩阵一定能够拆解为两个列向量$\vec{a}$，$\vec{b}$矩阵乘积的形式，具体为$A=\vec{a}{\vec{b}}^{T}$这种形式
（2）秩一方阵的特征值之和即矩阵的迹，即矩阵主对角线之和等于上述两个向量的内积，即$\vec{a}\vec{b}$
（3）秩一方阵的特征值可以一眼看出，即只有一个非零特征值为$\lambda=tra{A}=\Sigma{a_{ii}}=\vec{a}\vec{b}$，其他即为零特征值。
（4）很好地从另一个角度诠释了矩阵乘法，如下，
$\vec{u_i},\vec{v_i}$都是列向量。

$$U{V}^{T}=([\vec {u_1},\vec{u_2},...,\vec{u_n}])({[\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_n}]}^{T})=\vec{u_1}{\vec{v_1}}^{T}+\vec{u_2}{\vec{v_2}}^{T}+...,\vec{u_n}{\vec{v_n}}^{T}$$

上式，右侧为秩一矩阵之和。从列向量或者行向量的角度很容易理解$\vec{u}{\vec{v}}^{T}$是秩为一的矩阵。
（5）具备${A}^{2}=kA$这种极好的可以用于解决高次幂矩阵乘法问题的性质，具体推导如下，

$$A=\vec{a}{\vec{b}}^{T}\\{A}^{2}=AA=\vec{a}{\vec{b}}^{T}\vec{a}{\vec{b}}^{T}=\vec{a}({\vec{b}}^{T}\vec{a}){\vec{b}}^{T}=k\vec{a}{\vec{b}}^{T}=kA\\{A}^{2}=kA$$

关于第（3）点本人仍未能够给出很好的证明。据本人目前的判断，这一点是稳定是成立的。本人现有如下解释：r(A)=1，$(A-\lambda)\vec{x}=\vec{0}$，显然，当$\lambda=0$时，必然矩阵$A-\lambda$的秩为1，所以齐次线性方程组方程组必然有n-1个线性无关的解向量，而这正是完全符合特征向量的要求，n-1个特征向量撑起了n-1维的特征空间，我认为一个2重根的特征值可能只对应一个特征向量，但是如果m个线性无关特征向量对应的同一个特征值则必然这个特征值至少是m重特征根。