【ACWing】896. 最长上升子序列 II

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/898/

给定一个长$N$数列$a$，求严格单调递增的子序列的最长长度。

数据范围：
$1\le N\le 100000$
$-10^9\le x\le 10^9$
$x$是数列中的数

思路是偏序集分解定理。一个偏序集的最长链的长度，就是它能分解为最少多少个反链的个数。在这里可以将每个数与它的下标做成一个pair，并定义$(i,a[i])<(j,a[j])$当且仅当$i<j\wedge a[i]<a[j]$。那么反链就是指$i<j\wedge a[i]\ge a[j]$的情况了。我们只需要看最少能分解出多少个反链即可。思路参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/108616895。这里用一个数组$f$来存每条反链的最后一个数字。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n;
int a[N], f[N];

// 在f[0 : r]中找到第一个大于等于t的数字的下标
int binary_search(int f[], int r, int t) {
    
    
    if (r < 0) return -1;
    
    int l = 0;
    while (l < r) {
    
    
        int m = l + (r - l >> 1);
        if (f[m] >= t) r = m;
        else l = m + 1;
    }

    return f[l] >= t ? l : -1;
}

int main() {
    
    
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];

    int idx = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
        int pos = binary_search(f, idx - 1, a[i]);
        if (pos == -1) f[idx++] = a[i];
        else f[pos] = a[i];
    }

    cout << idx << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(n\log n)$，空间$O(n)$。