AcWing 896. 最长上升子序列 O(nlogn)模板题

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从序列单调性的角度进行优化，LIS的O(nlogn)说白了其实是贪心算法。

以 $(4, 2, 3, 1, 2, 3, 5)$ 为例，求其最长上升子序列。

策略：应该尽可能地让上升子序列的元素整体变小，以便可以加入更多的元素。

开辟一个新的数组 $arr[10]$ ：

1. 第一个数是 $4$，先加进去，那么为 $\left\{ 4 \right\}$；

2. 再来看下一个数 $2$，它比 $4$ 小，如果它与 $4$ 替换是不是可以让目前子序列变得更小，更方便以后元素的加入呢？是的，所以现在为 $\left\{ 2 \right\}$；

3. 再来看他的下一个元素 $3$，它比 $2$ 大，所以加在后面，即 $\left\{ 2, 3 \right\}$；

4. 再看下一个元素是 $1$，它比 $3$ 要小，所以为了保证子序列整体尽可能的小，以便可以加入更多的元素，从目前的序列中查找出第一个比它大的数替换掉，那么就变成了 $\left\{ 1, 3 \right\}$；

5. 下一个数是 $2$，那么序列变为 $\left\{ 1, 2 \right\}$；

6. 再下一个数为 $3$，那么序列为 $\left\{ 1, 2, 3 \right\}$；

7. 再下一个数为 $5$，那么序列为 $\left\{1, 2, 3, 5\right\}$

最终序列里有 $4$ 个元素，所以最长子序列的个数为 $4$，但是这个序列是一个伪序列，里面的元素并不是真正的最长上升子序列，而仅仅和最长上升子序列的个数一样。

以 $\left\{ 2, 1, 5, 3, 6, 4, 8, 9, 7\right\}$ 为例，最终序列为 $\left\{1,3,4,7,9\right\}$ 不是LIS，但LIS的长度确实为 $5$。

lower_bound( begin, end, num );
功能：从数组的 begin 位置到 end-1 位置二分查找第一个大于或等于 num 的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回end。通过返回的地址减去起始地址begin，得到找到数字在数组中的下标。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N], dp[N];

int main()
{
	int n;
	cin>>n;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) cin>>a[i];
    
	int len = 1;
    dp[1] = a[1];
	for(int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if(a[i] > dp[len])
			dp[++len] = a[i];
        else
            *lower_bound(dp + 1, dp + len + 1, a[i]) = a[i];
    }
    
    cout<<len<<endl;
    return 0;
}