896. 最长上升子序列 II

原题地址

给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式
第一行包含整数 N。

第二行包含 N 个整数，表示完整序列。

输出格式
输出一个整数，表示最大长度。

数据范围
1≤N≤100000，
−109≤数列中的数≤109
输入样例：
7
3 1 2 1 8 5 6
输出样例：
4
思路：但这次数据范围更大，如果最后每次背包再比较会超时。

• 思路：较小的数开头的数作为的子序列 比 较大的数作为开头的子序列 更好

• 实现步骤：

  • 另开一个数组存储长度以 i 的上升子序列的末尾元素最小的数
  • 我们惊奇的发现该数组具有单调性
  • 先定义边界，l = 0, r = len, 其中len是q数组的长度
  • 然后确定check函数, 可以先找到不等式中c < x ≤ a ≤ b的c
  • 通过q[r + 1] = a[i]来将x覆盖a的值
  • r + 1 > len时, 表示超出了二分边界，这时就要len ++更新q的长度

  此算法的时间复杂度就从之前那篇博客的O(n^2)变为了(nlogn)
  solve1：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int a[N], q[N];

int main(){
    
    
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];

    int len = 0;
    for(int i = 0; i < n; i ++){
    
    
        int l = 0, r = len; // 二分找到最大的小于当前数x的数c
        while(l < r){
    
    
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if(q[mid] < a[i]) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }

        q[r + 1] = a[i];
        if(r + 1 > len) 
        len ++;
    }

    cout << len << endl;
    return 0;
}

solve2：利用栈来模拟最长上升子序列

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
int main() {
    
    
    int n; cin >> n;
    vector<int>arr(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i)cin >> arr[i];

    vector<int>stk;//模拟堆栈
    stk.push_back(arr[0]);

    for (int i = 1; i < n; ++i) {
    
    
        if (arr[i] > stk.back())//如果该元素大于栈顶元素,将该元素入栈
            stk.push_back(arr[i]);
        else//替换掉第一个大于或者等于这个数字的那个数
            *lower_bound(stk.begin(), stk.end(), arr[i]) = arr[i];
    }
    cout << stk.size() << endl;
    return 0;
}
/*
例 n: 7
arr : 3 1 2 1 8 5 6
stk : 3
1 比 3 小
stk : 1
2 比 1 大
stk : 1 2
1 比 2 小
stk : 1 2
8 比 2 大
stk : 1 2 8
5 比 8 小
stk : 1 2 5
6 比 5 大
stk : 1 2 5 6
stk 的长度就是最长递增子序列的长度
*/