谱分析——离散傅里叶级数

离散傅里叶级数

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离散傅里叶级数

• 在实际中，我们往往不能直接得到关于$f(t)$的表达式，或者我们在得到了$f(t)$的表达式后，也无法将连续的值输入到计算机中进行分析。但我们可以采集到不同时刻的函数值 { f ( t 0 ) , f ( t 1 ) , ⋯   , f ( t N − 1 ) } \{f(t_0),f(t_1),\cdots,f(t_{N-1})\} { f(t0​),f(t1​),⋯,f(tN−1​)}
• 我们可以根据这些离散的函数值来得到它的频谱特性，这种方法就是离散傅里叶级数(与后面会介绍到的离散傅里叶变换)。

1 推导

• 由上文可知，离散傅里叶级数通过由函数中得到的离散值进行分析，对于连续傅里叶级数，有$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{in{\omega }_{0}t}\text{\hspace{1em}(1-1)}$$
• 由函数和子数列关系易得，若存在一个子数列 { f ( t 0 ) , f ( t 1 ) , ⋯   , f ( t N − 1 ) } \{f(t_0),f(t_1),\cdots,f(t_{N-1})\} { f(t0​),f(t1​),⋯,f(tN−1​)}同样满足公式(1-1)，即$$f(t_k)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{in{\omega }_0{t}_k}\text{\hspace{1em}(1-2)}$$数列的取法是任意的。
• 对于满足狄利克雷条件周期函数$f(t)$，我们按照等间隔的时刻在一个周期内采样N个点(假设N足够多)，则有：
  $$\{\begin{array}{l}f(t_k+T)=f(t)\\ t_0=0\\ t_k=t_o+k\tau =k\tau ,k=0,1,\cdots ,N-1\end{array}$$其中$T$为周期,$\tau$为采样周期。据此能够得出基频${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{N\tau }$。
• 将上述条件代入到(1-2)，即有$$f(k\tau )=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{in{\omega }_{0}k\tau }$$根据$f(t_k+T)=f(t)$，能够将该级数拆分成无穷个周期之和，即$$f(k\tau )=\cdots +\sum _{n=0}^{N-1}{c}_{n-N}{e}^{i(n-N){\omega }_{0}k\tau }+\sum _{n=0}^{N-1}{c}_n{e}^{in{\omega }_{0}k\tau }+\sum _{n=0}^{N-1}{c}_{n+N}{e}^{i(n+N){\omega }_{0}k\tau }+\cdots$$$$=\cdots +e^{-iN{\omega }_{0}k\tau }\sum _{n=0}^{N-1}{c}_{n-N}{e}^{in{\omega }_{0}k\tau }+\sum _{n=0}^{N-1}{c}_n{e}^{in{\omega }_{0}k\tau }+e^{iN{\omega }_{0}k\tau }\sum _{n=0}^{N-1}{c}_{n+N}{e}^{in{\omega }_{0}k\tau }+\cdots \text{\hspace{1em}(1-3)}$$
• 因为$$e^{iaN{\omega }_{0}k\tau }=e^{iaN\frac{2\pi }{N\tau }k\tau }=e^{ia2\pi k}=1,a\in Z$$代入到(1-3)，有$$f(k\tau )=\sum _{n=0}^{N-1}(\cdots +c_{n-N}+c_n+c_{n+N}+\cdots )e^{in{\omega }_{0}k\tau }$$$$=\sum _{n=0}^{N-1}\overline{c_n}{e}^{in{\omega }_{0}k\tau }\text{\hspace{1em}(1-4)}$$其中$$\overline{c_n}=\cdots +c_n-N+c_n+c_{n+N}+\cdots$$(1-4)即为离散傅里叶级数的公式。

2 系数求解

• 得到一般形式后，我们需要确定$\overline{c_n}$。
• 对于连续傅里叶级数的系数$c_n$，有$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-in{\omega }_{0}t}dt\text{\hspace{1em}(2-1)}$$很自然的想到，$\overline{c_n}$也有与该公式相同的形式。
• 在这里使用一种比较简单且不那么严谨的方法。¹对于定积分的定义，可以理解为在一个区间内取无穷多个离散的函数值进行的累加和，从中任意若干个等间隔的离散点也依旧成立。
• 因此对于等间隔 { f ( t 0 ) , f ( t 1 ) , ⋯   , f ( t N − 1 ) } \{f(t_0),f(t_1),\cdots,f(t_{N-1})\} { f(t0​),f(t1​),⋯,f(tN−1​)}，有$$c_n^{\prime }=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}f(k\tau )e^{-in{\omega }_{0}k\tau }\text{\hspace{1em}(2-2)}$$经数学计算验证后，能够得到$$\overline{c_n}=c_n^{\prime }=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}f(k\tau )e^{-in{\omega }_{0}k\tau }$$

3 采样条件

• 在上述推导过程中，我们假设的采样点为足够大的有限整数$N$，而在实际工程中，为了不失真地恢复信号，采样频率应该大于模拟信号频谱中最高频率的2倍，即$$f_s>2f_{max}$$其中$f_s=\frac{1}{\tau }$称为采样频率，这个条件称为香农采样定理。
• 若不满足上述条件，则会使得重建的信号出现混叠现象。此时重建的时域周期延拓信号将会出现相互交叠的现象。

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离散傅里叶级数与连续傅里叶级数的异同

• 与连续傅里叶级数最大的不同，就是在于离散傅里叶级数的系数是周期的：
• 连续傅里叶级数的形式为$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{in{\omega }_{0}t}$$
• 离散傅里叶级数的形式为$$f(k\tau )=\sum _{n=0}^{N-1}\overline{c_n}{e}^{in{\omega }_{0}k\tau }$$
• 这意味着离散傅里叶级数的精度是有限的，而连续傅里叶级数可以达到任意精度。（我们也可以通过增加采样点来提高精度，这和我们的生活经验相符）

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1. 最多让你在需要用的时候能够快速推导出来，真正严格的推导过程需要很复杂的数学计算。 ↩︎