傅里叶级数 — Fourier Series

数学家傅里叶猜想任何一个周期函数均可分解为一系列不同振幅、不同频率和不同相位的正弦函数的组合（由此，复杂的周期函数可分解为若干简单的三角函数，易于分析和处理）。即：

f (t) = C + \sum_{k = 1}^{\infty} A_{k} \sin (k ω t + φ_{k})

$f(t) = C + \sum_{k=1}^{\infty}A_{k}\sin(k\omega t + \varphi_{k})$
其中，

C

$C$ 是常数项，也可理解为振幅为

0

$0$ 的三角函数，其频率和相位任意；

A_{k}

$A_{k}$ 、

k ω

$k\omega$ 和

φ_{k}

$\varphi_{k}$ 表示正弦函数

k

$k$ 的振幅、角频率和相位（

ω

$\omega$ 为基频，即为角频率的最小单元）。

k

$k$ 取值从

1

$1$ 到正无穷。因此，傅里叶级数也就是一个无穷级数。

接着我们利用两角和公式 $\sin(A+B) = \sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)$ 对上式做分解，得到：

f (t) = C + \sum_{k = 1}^{\infty} A_{k} \cos (φ_{k}) \sin (k ω t) + \sum_{k = 1}^{\infty} A_{k} \sin (φ_{k}) \cos (k ω t)

$f(t) = C + \sum_{k=1}^{\infty}A_{k}\cos(\varphi_{k})\sin(k\omega t) + \sum_{k=1}^{\infty}A_{k}\sin(\varphi_{k})\cos(k\omega t)$

令 $A_{k}\cos(\varphi_{k}) = a_{k}$ 和 $A_{k}\sin(\varphi_{k}) = b_{k}$ ，得到：

f (t) = C + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} \sin (k ω t) + \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} \cos (k ω t)

$f(t) = C + \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\sin(k\omega t) + \sum_{k=1}^{\infty}b_{k}\cos(k\omega t)$
如果上式中的系数

C

$C$ 、

a_{n}

$a_{n}$ 和

b_{n}

$b_{n}$ 可解，则

f (t)

$f(t)$ 可分解为一系列简单的三角函数。

我们选择正弦函数 $k$ 中最大的周期 $\max(\frac{2\pi}{k\omega}) = \frac{2\pi}{\omega}$ 作为积分区间（保证所有的三角函数在此区间内积分为 $0$ ）。对上式在 $[0,\frac{2\pi}{\omega}]$ 内积分得：

\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} f (t) d t & = \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} C d t + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \sin (k ω t) d t + \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos (k ω t) d t \\ = C \frac{2 π}{ω} + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} 0 + \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} 0 \\ = C \frac{2 π}{ω} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}f(t)dt & = \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}Cdt + \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin(k\omega t)dt + \sum_{k=1}^{\infty}b_{k}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos(k\omega t)dt \\ & = C\frac{2\pi}{\omega} + \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}0 + \sum_{k=1}^{\infty}b_{k}0 \\ & = C\frac{2\pi}{\omega} \end{align*}$

因此，系数 $C$ 得解：

C = \frac{ω}{2 π} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} f (t) d t

$C = \frac{\omega}{2\pi} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}f(t)dt$

接着原式左右两边同时乘以 $\cos(n\omega t)$ ，得到：

\cos (n ω t) f (t) = C \cos (n ω t) + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} \sin (k ω t) \cos (n ω t) + \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} \cos (k ω t) \cos (n ω t)

$\cos(n\omega t)f(t) = C\cos(n\omega t) + \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\sin(k\omega t)\cos(n\omega t) + \sum_{k=1}^{\infty}b_{k}\cos(k\omega t)\cos(n\omega t)$

对上式在 $[0,\frac{2\pi}{\omega}]$ 内积分得：

\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos (n ω t) f (t) d t = C \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos (n ω t) d t + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \sin (k ω t) \cos (n ω t) d t + \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos (k ω t) \cos (n ω t) d t \\ = C 0 + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \frac{1}{2} [\sin (k ω t + n ω t) + \sin (k ω t - n ω t)] d t \\ + \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \frac{1}{2} [\cos (k ω t + n ω t) + \cos (k ω t - n ω t)] d t \\ = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \sin ((k + n) ω t) d t + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \sin ((k - n) ω t) d t \\ + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{b_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos ((k + n) ω t) d t + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{b_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos ((k - n) ω t) d t \\ = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a_{k}}{2} 0 + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \sin ((k - n) ω t) d t + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{b_{k}}{2} 0 + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{b_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos ((k - n) ω t) d t \\ = \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{a_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} - \sin ((n - k) ω t) d t + \frac{a_{n}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \sin ((n - n) ω t) d t + \sum_{k = n + 1}^{\infty} \frac{a_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \sin ((k - n) ω t) d t \\ + \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{b_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos ((n - k) ω t) d t + \frac{b_{n}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos ((n - n) ω t) d t + \sum_{k = n + 1}^{\infty} \frac{b_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos ((k - n) ω t) d t \\ = \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{a_{k}}{2} 0 + \frac{a_{n}}{2} 0 + \sum_{k = n + 1}^{\infty} \frac{a_{k}}{2} 0 + \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{b_{k}}{2} 0 + \frac{b_{n}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} 1 d t + \sum_{k = n + 1}^{\infty} \frac{b_{k}}{2} 0 \\ = \frac{b_{n}}{2} \frac{2 π}{ω} \end{aligned}

$\begin{align*} & \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos(n\omega t)f(t)dt = C\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos(n\omega t)dt + \sum_{k=1}^{\infty}a_{k} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin(k\omega t)\cos(n\omega t)dt + \sum_{k=1}^{\infty}b_{k} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos(k\omega t)\cos(n\omega t)dt \\ & = C0 + \sum_{k=1}^{\infty}a_{k} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\frac{1}{2}[\sin(k\omega t+n\omega t) + \sin(k\omega t-n\omega t)]dt \\ & + \sum_{k=1}^{\infty}b_{k} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\frac{1}{2}[\cos(k\omega t+n\omega t) + \cos(k\omega t-n\omega t)]dt \\ & = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin((k+n)\omega t)dt + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin((k-n)\omega t)dt \\ & + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{b_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos((k+n)\omega t)dt + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{b_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos((k-n)\omega t)dt \\ & = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_{k}}{2}0 + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin((k-n)\omega t)dt + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{b_{k}}{2}0 + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{b_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos((k-n)\omega t)dt \\ & = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{a_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}-\sin((n-k)\omega t)dt + \frac{a_{n}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin((n-n)\omega t)dt + \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{a_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin((k-n)\omega t)dt \\ & + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{b_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos((n-k)\omega t)dt + \frac{b_{n}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos((n-n)\omega t)dt + \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{b_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos((k-n)\omega t)dt \\ & = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{a_{k}}{2}0 + \frac{a_{n}}{2}0 + \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{a_{k}}{2}0 + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{b_{k}}{2}0 + \frac{b_{n}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}1dt + \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{b_{k}}{2}0 \\ & = \frac{b_{n}}{2}\frac{2\pi}{\omega} \end{align*}$

因此，系数 $b_{n}$ 得解：

b_{n} = \frac{ω}{π} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos (n ω t) f (t) d t

$b_{n} = \frac{\omega}{\pi} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos(n\omega t)f(t)dt$

接着原式左右两边同时乘以 $\sin(n\omega t)$ ，得到：

\sin (n ω t) f (t) = C \sin (n ω t) + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} \sin (k ω t) \sin (n ω t) + \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} \cos (k ω t) \sin (n ω t)

$\sin(n\omega t)f(t) = C\sin(n\omega t) + \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\sin(k\omega t)\sin(n\omega t) + \sum_{k=1}^{\infty}b_{k}\cos(k\omega t)\sin(n\omega t)$

对上式在 $[0,\frac{2\pi}{\omega}]$ 内积分得：

\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \sin (n ω t) f (t) d t = C \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \sin (n ω t) d t + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \sin (k ω t) \sin (n ω t) d t + \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos (k ω t) \sin (n ω t) d t \\ = C 0 + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \frac{1}{2} [\cos (k ω t - n ω t) - \cos (k ω t + n ω t)] d t \\ + \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \frac{1}{2} [\sin (k ω t + n ω t) - \sin (k ω t - n ω t)] d t \\ = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos ((k - n) ω t) d t - \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos ((k + n) ω t) d t \\ + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{b_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \sin ((k + n) ω t) d t - \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{b_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \sin ((k - n) ω t) d t \\ = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos ((k - n) ω t) d t - \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} 0 + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{b_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} 0 - \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{b_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \sin ((k - n) ω t) d t \\ = \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{a_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos ((n - k) ω t) d t + \frac{a_{n}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos ((n - n) ω t) d t + \sum_{k = n + 1}^{\infty} \frac{a_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos ((k - n) ω t) d t \\ - \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{b_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} - \sin ((n - k) ω t) d t - \frac{b_{n}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \sin ((n - n) ω t) d t - \sum_{k = n + 1}^{\infty} \frac{b_{k}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \sin ((k - n) ω t) d t \\ = \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{a_{k}}{2} 0 + \frac{a_{n}}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} 1 d t + \sum_{k = n + 1}^{\infty} \frac{a_{k}}{2} 0 - \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{b_{k}}{2} 0 - \frac{b_{n}}{2} 0 - \sum_{k = n + 1}^{\infty} \frac{b_{k}}{2} 0 \\ = \frac{a_{n}}{2} \frac{2 π}{ω} \end{aligned}

$\begin{align*} & \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin(n\omega t)f(t)dt = C\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin(n\omega t)dt + \sum_{k=1}^{\infty}a_{k} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin(k\omega t)\sin(n\omega t)dt + \sum_{k=1}^{\infty}b_{k} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos(k\omega t)\sin(n\omega t)dt \\ & = C0 + \sum_{k=1}^{\infty}a_{k} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\frac{1}{2}[\cos(k\omega t-n\omega t) - \cos(k\omega t+n\omega t)]dt \\ & + \sum_{k=1}^{\infty}b_{k} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\frac{1}{2}[\sin(k\omega t+n\omega t) - \sin(k\omega t-n\omega t)]dt \\ & = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos((k-n)\omega t)dt - \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos((k+n)\omega t)dt \\ & + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{b_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin((k+n)\omega t)dt - \sum_{k=1}^{\infty}\frac{b_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin((k-n)\omega t)dt \\ & = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos((k-n)\omega t)dt - \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}0 + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{b_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}0 - \sum_{k=1}^{\infty}\frac{b_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin((k-n)\omega t)dt \\ & = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{a_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos((n-k)\omega t)dt + \frac{a_{n}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos((n-n)\omega t)dt + \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{a_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos((k-n)\omega t)dt \\ & - \sum_{k=1}^{n-1}\frac{b_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}-\sin((n-k)\omega t)dt - \frac{b_{n}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin((n-n)\omega t)dt - \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{b_{k}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin((k-n)\omega t)dt \\ & = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{a_{k}}{2}0 + \frac{a_{n}}{2}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}1dt + \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{a_{k}}{2}0 - \sum_{k=1}^{n-1}\frac{b_{k}}{2}0 - \frac{b_{n}}{2}0 - \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{b_{k}}{2}0 \\ & = \frac{a_{n}}{2}\frac{2\pi}{\omega} \end{align*}$

因此，系数 $a_{n}$ 得解：

a_{n} = \frac{ω}{π} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \sin (n ω t) f (t) d t

$a_{n} = \frac{\omega}{\pi} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin(n\omega t)f(t)dt$

至此，已经得到傅里叶级数中各系数的表达式（如下），只要它们可积分，即 $C$ 、 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 可解，那么就得到了函数 $f(t)$ 的傅里叶级数。

f (t) = C + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} \sin (k ω t) + \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} \cos (k ω t) {\begin{cases} C = \frac{ω}{2 π} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} f (t) d t \\ a_{n} = \frac{ω}{π} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \sin (n ω t) f (t) d t \\ b_{n} = \frac{ω}{π} \int_{0}^{\frac{2 π}{ω}} \cos (n ω t) f (t) d t \end{cases}

$f(t) = C + \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\sin(k\omega t) + \sum_{k=1}^{\infty}b_{k}\cos(k\omega t) \\ \begin{cases} C = \frac{\omega}{2\pi} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}f(t)dt \\ a_{n} = \frac{\omega}{\pi} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin(n\omega t)f(t)dt \\ b_{n} = \frac{\omega}{\pi} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}\cos(n\omega t)f(t)dt \end{cases}$

傅里叶级数 — Fourier Series

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