蓝桥杯省赛真题2014年第五届Java本科B组
第10题——矩阵翻硬币
标题：矩阵翻硬币
小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。
随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。
对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。
其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。
当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。
小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。
聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
【数据格式】
输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。
输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。
【样例输入】
2 3
【样例输出】
1
【数据规模】
对于10%的数据，n、m <= 10^3；
对于20%的数据，n、m <= 10^7；
对于40%的数据，n、m <= 10^15；
对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。
思路
这题是一道数学题…
这题数据很大，按照题目的方式求肯定会超时。所以我们要把这个问题简化一下。
- 我们通过第x行和第y列位置被翻动的总次数，来判断这个位置刚开始是正面朝上还是反面朝上。
- 因为最后所有的都是正面朝上，所以这个位置如果反面朝上的话，那一定是被翻动了奇数次。
- 难点是，根据题意，每次一个（x，y）位置翻动，会影响所有与x坐标和y坐标成倍数关系的位置，它们也会翻动。
- 我们可以通过求真因子（就是不重复的因数）的个数来判断翻动了多少次
- 比如：
- 考虑第1行，第y列，y有多少真因子，就会被翻动多少次，而所有的y中，只有平方数的真因子个数为奇数(因为约数总是成对出现的，比如10的真因子有1和10,2和5，一共有4个，而平方数9的因子有1和9，还有一个3*3但是只能算一个3，所以9的真因子有3个)
- 考虑第1列，第x行, x有多少真因子，就会被翻动多少次，而所有的x中，只有平方数的真因子个数为奇数
- x, y硬币被翻动的次数=x真因子个数 乘上 y真因子个数，只有奇数*奇数=奇数（奇数 乘上 偶数 等于 偶数），所以，若要x,y为反面，必须x，y都是平方数
- 因此，反面硬币总数 = m中的平方数的个数 乘上 n中的平方数的个数
- 那么在m中有多少个平方数呢?答案是sqrt(m)向下取整个，如9内有三个平方数1, 4, 9; 16里面有4个平方数1, 4, 9, 16; 25内有5个平方数，个数都等于开平方然后向下取整。
- 因此此题等价于求sqrt(m)*sqrt(n)，但是由于本题的数据量过大，暴力开平方也会导致超时，那么怎么对一个很大的数开平方呢?
- 假设一个数的长度为length，我们通过尝试可以找到规律，如果length（不是这个数，是这个数的长度）为偶数，则其平方根（开方得到的数）的长度为length/2 ，如果length为奇数，则平方根的长度为length/2+1，比如 对于25来说，这个数本身的长度为2是偶数，25的平方根为5长度为1，也就是2/1=1；对于100来说它的长度为3是奇数，其平方根为10，10的长度就是3/2+1=2
- 根据以上方法，我们可以从高位不停地试探，每一个取平方后恰好不超过目标平方数的值
代码
import java.math.BigInteger;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
String s1 = scanner.next();
String s2 = scanner.next();
System.out.println(sqrt(s1).multiply(sqrt(s2))); //大数的乘法
}
private static BigInteger sqrt(String s) {
int length = s.length();
int len = 0;
//求开方的结果的整数的长度
if (length%2==0) {
len = length/2;
}else {
len = length/2+1;
}
//定义一个字符数组用来存放开方结果
char[] sArr = new char[len];
//给数组初始化为0
Arrays.fill(sArr, '0');
BigInteger target = new BigInteger(s); //把字符串转为大数类型，作为比较目标
//对开方结果进行试探
for (int pos = 0; pos < sArr.length; pos++) {
for (char c = '1'; c <= '9'; c++) {
sArr[pos] = c; //在pos这个位置上试着填入1-9
BigInteger pow = new BigInteger(String.valueOf(sArr)).pow(2); //字符数组转为字符串，然后转为大数类型，最后平方
if (pow.compareTo(target) == 1) {
//试探数的平方比目标大
sArr[pos]-=1; //pos位置上的数-1
break; //跳出循环
}
}
}
return new BigInteger(String.valueOf(sArr));
}
}
测评
