概率论基本概念三

一.均匀分布

若随机变量X的密度函数为

$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}(a\leq x\leqslant b)\\ 0(other)\end{cases}$

则称随机变量X服从区间[a, b]上的均匀分布。记作X~U[a, b]。a和b为数轴上的最大值和最小值

均匀分布的概率背景

如果随机变量X服从区间[a，b]上的均匀分布，则随机变量X在区间[a, b]上的任意一个子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。这时，可以认为随机变量X在区间[a, b]上取值是等可能的。

均匀分布的分布函数

若随机变量X服从区间[a, b]上的均匀分布，则X的分布函数为

二.指数分布

如果随机变量X的密度函数为

$f(x) =\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} (x>0)\\ 0(x\leqslant 0)\end{cases}$

其中 $\lambda > 0$ 为常数，则称随机变量X服从参数为 $\lambda$ 的指数分布。

指数分布的分布函数

若随机变量X服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，则X的分布函数为

$F(x)=\begin{cases} 0(x\leqslant 0)\\ 1-e^{-\lambda x}(x>0)\end{cases}$

三.正态分布

如果连续型随机变量X的密度函数为

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^-\frac{(x-\mu )^2}{2\sigma ^2}(-\infty<x<+\infty)$

(其中 $-\infty<\mu <+\infty$ ， $\sigma >0$ 为参数， $\mu$ 为期望， $\sigma$ 为方差)，则称随机变量X服从参数为( $\mu , \sigma ^2$ )的正态分布。记作X~N( $\mu , \sigma ^2$ )。

标准正态分布

若 $\mu =0, \sigma =1$ ，我们称N(0, 1)为标准正态分布。

标准正态分布的密度函数为

$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^2}{2}}$ ( $-\infty<x<+\infty$ )

正态分布密度函数的图形性质

对于正态分布的密度函数得：

(1)曲线关于直线 $x=\mu$ 对称，这表明：对于任意的h>0有

$P\lbrace \mu -h<X\leqslant \mu \rbrace=P\lbrace \mu <X\leqslant \mu +h\rbrace$

(2)当 $x=\mu$ 时，f(x)取到最大值

$f(\mu )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$

x离 $\mu$ 越远，f(x)的值就越小。这表明，对于同样长度的区间，当区间离 $\mu$ 越远时，随机变量X落在该区间中的概率就越小。

(3)曲线 $y=f(x)$ 在 $x=\mu \pm\sigma$ 处有拐点；曲线y=f(x)以Ox为渐近线

(4)若 $\sigma$ 固定，而改变 $\mu$ 的值，则f(x)的图形沿x轴平行移动，但不改变其形状。因此y=f(x)图形的位置完全由参数 $\mu$ 所确定。

(5)若 $\mu$ 固定，而改变 $\sigma$ 的值，由于f(x)的最大值为

$f(\mu )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$

可知，当 $\sigma$ 越小时，y=f(x)的图形越陡，因而X落在 $\mu$ 附近的概率越大；反之，当 $\sigma$ 越大时，y=f(x)的图形越平坦，这表明X的取值越分散。

标准正态分布的计算

如果随机变量X~N(0, 1),则其密度函数为

$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^2}{2}}$ $x\epsilon (-\infty, +\infty)$

其分布函数为

$\Phi (x)=\int_{-\infty}^{x}\varphi (t)dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$ $x\epsilon (-\infty, +\infty)$

教科书上有标准正态分布表，由此可得 $\Phi (x)$ 的值。

对于 $x\geqslant 0$ 可通过直接查表求出 $\Phi (x)=P$\lbrace X\leqslant x\rbrace$$

如果x<0，可由公式

$\Phi (-x)=\int_{-\infty}^{-x}\varphi (t)dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty}^{-x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$

做变换 $t=-\mu , dt=-d\mu$ ，得

$\Phi (-x)=-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{+\infty}^{x}d^{-\frac{\mu ^2}{2}}d\mu =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{+\infty}^{x}d^{-\frac{\mu ^2}{2}}d\mu =1-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty}^{x}d^{-\frac{\mu ^2}{2}}d\mu=1-\Phi (x)$

以上分布，一般情况下是连续型随机变量的分布。

连续型随机变量：

如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x，有

$F(x)=\int_{+\infty}^{x}f(t)dt$

则称X为连续型随机变量，其中f(x)成为X的概率密度函数，简称概率密度。

概率密度f(x)的性质：

1. $f(x)\geqslant 0$

2. $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$

3. $P\lbrace x_1<X\leqslant x_2\rbrace=F(x_2)-F(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx.(x_1\leqslant x_2)$

4.若f(x)在x点处连续，则有 $F{(x)}'=f(x)$

注意：

连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但密度函数不是概率

不能认为P{X=a}=f(a)