概率论与数理统计---基本概念

基本概念

随机实验

随机实验可以简称为实验，它满足以下的条件：

• 可以在相同条件下重复进行
• 每次实验的结果不止一个，且实验前明确
• 进行实验之前不明确那个结果会发生

样本空间

样本空间就是随机实验可能的结果的集合
每一个可能的结果称为样本点
例如:

• 扔色子的样本空间S = {1,2,3,4,5,6}
• 灯泡的寿命S = {t | t >= 0}

事件

事件就是发生的某种情况，可以用一个集合来表示，这个集合必然是样本空间的子集。
当事件结果的集合中对应元素出现时，则称为事件发生。

1. 随机事件

随机事件就是要研究的事件，所有其他的事件都被属于随机事件
例如之前的扔色子，可以有一个点数为偶数的随机事件,
用集合来表示就是S = {2,4,6}

2. 基本事件

基本事件就是指单个样本点组成的集合。还是用色子来举例，点数为1就是一个基本事件，对应的集合为S = {1}

3. 必然事件

包含所有样本点的事件，也就是必然事件的集合和样本空间相同

4. 不可能事件

不可能事件不包含任何样本点，用空集表示

5. 完备事件组
   当多个事件之间两两没有交集，并且他们的并集为样本空间，则这些事件组成一个完备事件组，或者叫做 “划分” 。

事件运算

随机事件的关系

1. 包含

2. 相等

3. 和事件，跟编程中的或运算相同

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4. 积事件，与编程中的与运算符相同

因为是积事件，可以直接写作乘积的形式

5. 减法关系

去除事件A中事件B的包含部分

6. 无关（互斥）

7. 对立

运算律

频率与概率

概率是一件事发生的可能性大小的数字衡量。

事件A在n次实验中发生了m次，则事件的概率为$P(A)=\frac{m}{n}$

频率是一次实验中得到的结果，概率的频率定义为：

随着实验次数的增加，频率会在某个数值附近波动，这个数值被称为概率

概率的性质

• 对于任何一个事件，概率都在0-1之间
• 不然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
• 有限可加性
• 包含可减性
• 对任意一个事件A，它的对立事件$\overline{A}$的概率为$P(\overline{A})=1-P(A)$
• 减法公式：对于任意的两个事件A、B，有$P(B-A)=P(B)-P(AB)$
• 加法公式：对于任意的两个事件A、B，有$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

古典概型和几何概型

古典概型基本事件的个数为有限个，并且每个基本事件的可能性都相同。

几何概型有无限的样本点，每个样本点出现的可能性相等。
比如时间，长度，面积这一类的问题。

条件概率和乘法公式

计算公式

性质

乘法公式