L1-概率论中的10个基本概念：古典概率、联合概率、条件概率、生日问题等

（1）排列数

从 $m$个不同元素中取出 $n(n≤m)$个元素（被取出的元素各不相同），并按照一定的顺序排成一列，叫做从 $m$个不同元素中取出 $n$个元素的一个排列，记作 $A(m,n)$。
$A(m,n)=A_m^n=\frac{m!}{(m-n)!}$

（2）组合数

从 $m$个不同元素中取出 $n(n≤m)$个元素，叫做从 $m$个不同元素中取出 $n$个元素的组合数，记作 $C(m,n)$。
$C(m,n)=C_m^n=\frac {m!}{(m-n)!n!}$

（3）古典概率

概率是以假设为基础的，即假定随机现象所发生的事件是有限的、互不相容的，而且每个基本事件发生的可能性等。一般来讲，如果在全部可能出现的基本事件范围内构成事件 $A$的基本事件有 $a$个，不构成事件 $A$的有 $b$个，那么事件 $A$出现的概率为：
$P(A)=\frac {a}{a+b}$

（4）生日问题

n个人中至少两个人生日在同一天的概率
$P(A)=1- \frac{365!}{365^n(365-n)!}$

（5）联合概率

两个事件共同发生的概率，事件 $A$和事件 $B$的同时发生的概率记作： $P(AB)$或 $P(A,B)$或 $P(A∩B)$。

$P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$

（6）条件概率

事件 $B$已经发生的条件下，事件 $A$发生的概率，记作 $P(A|B)$，条件概率具有非负性、可列性、可加性。

$P(A|B)=\frac {P(AB)}{P(B)}$

（7）全概率公式

$B_1 ... B_n$是随机试验 $S$的一组事件，满足以下两个条件：

• $B_i \bigcup B_j = \emptyset, i \not= j$ （两两互不相容）
• $B_1 \bigcap B_2,..., \bigcap B_n = S$ （并集为整个样本空间）

称 $B_1 ... B_n$是样本空间 $S$的一个划分。

通过样本划分可以将复杂事件划分为若干不相容的简单事件 $B_i$，利用全概率公式可求得结果事件 $A$的概率 $P(A)$

$P(A) = \sum_{i=1}^{n}P(AB_i) = \sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A \mid B_i)$

其中， $P(B_i)$为已知的每个原因事件 $B_i$的概率， $P(A \mid B_i)$表示每个原因事件对结果事件的影响程度。

（8）贝叶斯公式

根据条件概率： $P(AB) = P(A) P(B\mid A) = P(B) P(A\mid B)$可推导出贝叶斯公式：
$P(A\mid B) = \frac {P(A)P(B \mid A)}{P(B)}$
推广：
$P(B_i \mid A) = \frac {P(AB_i)}{P(A)} = \frac {P(B_i)P(A \mid B_i)}{\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A \mid B_i)}$
$P(B_i \mid A)$用来反映引起结果事件 $A$发生的各种原因事件 $B_i$的可能性。

（9）事件独立性

两个事件 $A、B$，如果 $P(AB)=P(A)P(B)$，则事件 $A$和 $B$相互独立。如果事件 $A、B$相互独立，互不影响，那么 $zP(A|B)=P(A)$， $P(B|A)=P(B)$。

（10）小概率事件

小概率事件：如果事件 $A$发生的概率 $p=0.0001$，那么进行一次实验，事件 $A$会发生吗？

根据实际推断原理：概率很小的事件在一次实验中实际上几乎是不发生的。

$n$次实验中，都不发生的概率： $(1-p)^n$

$n$次实验中，至少有1次发生事故的概率： $1-(1-p)^n$，由于 $\lim_{n\rightarrow+\infty}(1-p)^n=1$
说明“小概率事件”在大量独立重复实验中“至少有一次发生”几乎是必然的，因此决不能轻视小概率事件。

如， $n=7000$时， $1-(1-p)^{n} = 1-(1-0.0001)^{7000} = 0.5053>0.5$

$n=30000$时， $1-(1-p)^{n} = 1-(1-0.0001)^{30000} = 0.9502$