第一章 概率论的基本概念 排列组合方法汇总

排列组合方法汇总

捆绑法——解相邻问题

例1：
6本不同的书全部分给5名同学每人至少一本，有多少种不同的分法？

答案： $C_6^2$ $A_5^5$

解析：先在六本书中找出两本捆在一起，然后再分给5名同学。

例2：
把1 ~ 7这7个数字排列成一排，要求偶数必须相邻，则有多少种排列情况？

答案： $A_3^3$ $A_5^5$

解析：先排2,4,6并看出一个整体。这样就变成5个数去排列了。

插空法——解不相邻问题

例1：
把1 ~ 7这7个数字排列成一排，要求偶数不能相邻，则有多少种排列情况？

答案： $A_4^4$ $A_5^3$

解析：先排1,3,5,7这四个数，然后把2,4,6这三个数插入这5个空里（包含队头和队尾）。

例2：
马路上有编号为1、2、3…9的九盏路灯，为节约用电，现要求把其中3盏灯关掉，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法有多少种。

答案： $C_5^3$

解析：路灯都一样，先拿出来6盏排成一列然后把三盏不亮的放入里面的5个空中。

分组法——解不同元素分组问题

例1：
求将 1, 2, 3, 4, 5, 6 分为 3 组的分组方法.

答案： $\frac{C_6^1 C_5^1}{A_2^2}$ + $C_6^1$ $C_5^2$ + $\frac{C_6^2 C_4^2}{A_3^3}$

解析：分组情况有3种，(1-1-4) 分法，(1-2-3) 分法和 (2-2-2) 分法。依次算，然后加起来。
<1> (1-1-4) 分法:
先6个里面挑一个作为一组，再5个里面挑一个作为一组，之后的就不用挑了直接作为一组。因为前两个组都一样的不需要排列所以再除以 $A_2^2$.
<2>(1-2-3) 分法:
先6个里面挑一个作为一组，再5个里面挑两个作为一组，最后剩余的作为一组。因为每组人数都不一样没有重复所以不用除。
<3>(2-2-2) 分法:
先6个里面挑两个作为一组，再5个里面挑两个作为一组，最后剩余的作为一组。三个组之间没有区别不需要排列所以除以 $A_3^3$.

综上：有 $\frac{C_6^1 C_5^1}{A_2^2}$ + $C_6^1$ $C_5^2$ + $\frac{C_6^2 C_4^2}{A_3^3}$ = $15+60+15=90$ 种情况。

例2：

<1> 第一个人家已经分好组了，比较简单。
$P =$ $\frac{C_5^1 C_2^1 C_3^1 C_2^1}{C_{12}^4}$

<2> 第二个有陷阱喽
$P =$ $\frac{C_5^1 C_2^1 C_3^1 C_2^1}{C_{12}^5}$ · $\frac{C_8^1 }{A_2^2}$
因为无论从剩余的8个人中选谁组成一组都会和之前一组的重复。所以我们这里除以这两个组排列的情况即 $A_2^2$.

挡板法——解相同元素分组问题

例1：
将 8 个相同物品放入 3 个不同容器, 每个容器至少放一个物品, 求方案数.

答案： $C_7^2$

解析：8个排成一列，往7个空里放两个挡板。

$n$ 个相同元素分为 $m$ 组, 有 $C_{n-1}^{m-1}$ 种情况。

优限法——解含特殊条件问题

例1：
$7$ 个元素排列, 其中两个元素 $A, B$特殊, (1) 求 $A, B$ 只能放在两端的排法. (2) 求 $A, B$ 不能放在两端的排法.

<1> $A_2^2 A_5^5$

<2> $A_5^2 A_5^5$

解析：这个很好理解，就是先排特殊的。

倍缩法——解方案有重问题

例1：
7个人站队，要求甲乙丙三人的顺序固定。则有几种情况？

答案： $\frac{A_7^7}{A_3^3}$

解析：这个也好理解，7个人排队人家三个不排就除掉就好了。

间接法——解正向求解不显然问题

例1：
用0,1,2,3,4这五个数去组成没有重复数字的三位数，且1不在个位，共有多少种情况？

答案： $A_5^3$ - 2 $A_4^2$ + $A_3^1$

解析： $A_5^3$是所有的情况。2 $A_4^2$是首位数是0的情况和各位数为1的情况，要减掉。而这两种情况之间还重复着 $A_3^1$种情况故补上。