概率论做题笔记(概率论基本概念)

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Question 1:

设 $A$， $B$， $C$为三个事件，用 $A$， $B$， $C$的运算关系表示下列各事件：
（1） $A$发生， $B$与 $C$不发生.

（2） $A$与 $B$都发生，而 $C$不发生.

（3） $A$， $B$， $C$中至少有一个发生.

（4） $A$， $B$， $C$都发生.

（5） $A$， $B$， $C$都不发生.

（6） $A$， $B$， $C$中不多于一个发生.

（7） $A$， $B$， $C$中不多于两个发生.

（8） $A$， $B$， $C$中至少有两个发生.

思路

$A$发生就用 $A$表示， $A$不发生就用 $\overline{A}$表示； $A$事件与 $B$事件的交集可以用 $A$ $\bigcap$ $B$表示，或直接用 $A$ $B$表示； $A$事件与 $B$事件的并集可用 $A$ $\bigcup$ $B$表示.

答案如下

（1） $D$₁= $A$ $\overline{B}$ $\overline{C}$；

（2） $D$₂= $A$ $B$ $\overline{C}$；

（3） $D$₃= $A$ $\bigcup$ $B$ $\bigcup$ $C$；

（4） $D$₄= $A$ $B$ $C$；

（5） $D$₅= $\overline{A}$ $\overline{B}$ $\overline{C}$；

（6）“不多于一个发生”可理解为“都不发生”或“只有一个发生”，故 $D$₆= $\overline{A}$ $\overline{B}$ $\overline{C}$ $\bigcup$ $A$ $\overline{B}$ $\overline{C}$ $\bigcup$ $\overline{A}$ $B$ $\overline{C}$ $\bigcup$ $\overline{A}$ $\overline{B}$ $C$；

（7）“不多于两个发生”可理解为“只有两个发生”或“只有一个发生”或“都不发生”（即第六题的情况），故 $D$₇= $A$ $B$ $\overline{C}$ $\bigcup$ $A$ $\overline{B}$ $C$ $\bigcup$ $\overline{A}$ $B$ $C$ $\bigcup$ $\overline{A}$ $\overline{B}$ $\overline{C}$ $\bigcup$ $A$ $\overline{B}$ $\overline{C}$ $\bigcup$ $\overline{A}$ $B$ $\overline{C}$ $\bigcup$ $\overline{A}$ $\overline{B}$ $C$；

（8）“至少有两个发生”可理解为“只有两个发生”或“三个都发生”，故 $D$₈ = $A$ $B$ $\overline{C}$ $\bigcup$ $A$ $\overline{B}$ $C$ $\bigcup$ $\overline{A}$ $B$ $C$ $\bigcup$ $A$ $B$ $C$.

Question 2:

已知 $P$ $(A)$， $P$ $(B)$， $P$ $(C)$， $P(AB)$， $P(AC)$， $P(BC)$， $P(ABC)$.试推导出 $A$ $\bigcup$ $B$， $\overline{A}$ $\overline{B}$， $A$ $\bigcup$ $B$ $\bigcup$ $C$， $\overline{A}$ $\overline{B}$ $\overline{C}$， $\overline{A}$ $\overline{B}$ $C$， $\overline{A}$ $\overline{B}$ $\bigcup$ $C$的概率公式.

思路

可先设样本空间为 $S$，那么 $A$的逆事件就可以用 $S$– $A$表示；基本公式： $P$( $A$ $\bigcup$ $B$)= $P(A)$+ $P(B)$– $P(AB)$.

答案如下

（1） $P$( $A$ $\bigcup$ $B$)= $P(A)$+ $P(B)$– $P(AB)$；

（2） $P$( $\overline{A}$ $\overline{B}$)= $P$(( $S$– $A$)( $S$– $B$))= $P$( $S$)– $P(A)$– $P(B)$+ $P(AB)$=1– $P(A)$– $P(B)$+ $P(AB)$；

（3） $P$( $A$ $\bigcup$ $B$ $\bigcup$ $C$)= $P(A)$+ $P(B)$+ $P(C)$– $P(AB)$– $P(AC)$– $P(BC)$+ $P(ABC)$；

（4） $P$( $\overline{A}$ $\overline{B}$ $\overline{C}$)= $P$(( $S$– $A$)( $S$– $B$)( $S$- $C$))= $P(S)$– $P$( $A$ $\bigcup$ $B$ $\bigcup$ $C$)=1– $P$( $A$ $\bigcup$ $B$ $\bigcup$ $C$)；

（5） $P$( $\overline{A}$ $\overline{B}$ $C$)= $P$( $\overline{A}$ $\overline{B}$( $S$– $\overline{C}$))= $P$( $\overline{A}$ $\overline{B}$)– $P$( $\overline{A}$ $\overline{B}$ $\overline{C}$)；

（6） $P$( $\overline{A}$ $\overline{B}$ $\bigcup$ $C$)= $P$( $\overline{A}$ $\overline{B}$)+ $P(C)$– $P$( $\overline{A}$ $\overline{B}$ $C$)；

Question 3:

从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？

思路

以 $A$表示事件“4只鞋子中至少有两只配成一双”，则 $\overline{A}$表示事件“4只鞋子无配对“，先计算 $P$( $\overline{A}$)较为简便.考虑4只鞋子是有次序一只一只取出的，故从5双（10只）鞋子中任取4只共有10×9×8×7钟取法，即 $N(S)$=10×9×8×7.现在求 $N$( $\overline{A}$).第一次任意取，共有10种取法，第2只只能在剩下的9只中且除去与已取的与第1只相配对的鞋子中任取一只，共有10-1-1=8种取法，同理第3只有8-1-1=6种取法，第4只有7-1-1-1=4种取法，因而 $N$( $\overline{A}$)=10×8×6×4.

答案如下

$P(A)$=1– $P$( $\overline{A}$)=1– $N$( $\overline{A}$)/ $N(S)$=1–(10×8×6×4)/(10×9×8×7)=13/21.