第一章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.2 样本空间，随机事件

1.1 随机试验

随机试验：

1. 可以在相同的条件下进行重复。
2. 每次试验的可能结果不止一个，并且知道所有可能的结果。
3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

eg：

1.2 样本空间，随机事件

样本空间：

随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间, 记为 S 。 样本空间的元素 , 即试验E 的每一个结果, 称为样本点。

实例：

掷出色子点数的6种情况的集合是掷色子这个随机试验的样本空间。每种情况都是一个样本点。

样本空间就是一个全集的概念，我们也可以用 $\Omega$（大写的Omega）表示
样本点其实也就是他的基本事件，我们用 $\omega$（小写Omega）表示

练习：


注意 ：
同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样本空间也不同。

eg：

随机事件：

随机试验 E 的样本空间 S 的 $\red{子集}$称为 E 的随机事件, 简称事件.

我们一般用大写的A,B,C来表示事件。

基本事件：

由一个样本点组成的单点集。

换言之相对于试验目的来说不可再分/不必再分。

上述试验中，“出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”。都是基本事件。

所有基本事件的集合就是样本空间 ✔

必然事件：

随机试验中必然会出现的结果。

上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件。

不可能事件：

随机试验中不可能出现的结果。

上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件。

小结：

• $\Omega$ （全集） $\longleftrightarrow$ 必然事件 $\longleftrightarrow$ 样本空间

• $\phi$ $\longleftrightarrow$ 不可能事件 $\longleftrightarrow$ 空集

• 事件 $\longleftrightarrow$ $\Omega$ 的子集

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随机事件间的关系及运算

由之前我们可知：随机事件其实就是一个集合，所以随机事件间的关系及运算其实就是集合的关系和运算。

有以下几种：

1. 包含
2. 等于
3. 并（和事件）

无限可列个：按照某种规律排成一个序列。
eg：

• 自然数：0,1,2,3 ……
• 整数：0,1,-1,2,-2……
• 有理数：0, $\frac{1}{1}$ , - $\frac{1}{1}$ , $\frac{1}{2}$, - $\frac{1}{2}$ ……
• 实数集不可列

4.交（积事件）

5.差

6.互补相容（互斥）

7.对立

所以对立一定互斥，而互斥不一定对立。

运算规律：

这个我们在离散数学中学过也都很好理解。

例题：




这里简单说一下第七个中的ABC的逆。

不多于两个事件发生 $\longleftrightarrow$ 至多两个事件发生 $\longleftrightarrow$ （至少三个事件发生）的逆

至少n $\longleftrightarrow$ ¬（至多n-1）

再来：

这里插一句哈，“+”一般在两个样本之间交集为空时用。分不清的话就都用“ $\bigcup$”即可。

由上道题可见，当A的数量增多的时候麻烦的方法就要写好多了。接下来我给大家分享下解上述题的技巧：

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• 先来看3和8，他们都是至少怎么怎么样。至少后面跟的是底线，就是你达到底线就ok了，其他的不用你管了。所以你只要把底线并起来就好了，其他的不用你管了。
• 再来看6和7，他们都是不多于（至多）。这个是可以转化成用至少表示的语句的。例如：
  <1>“A,B,C中不多于（至多）一个发生” $\longleftrightarrow$ “A,B,C中至少有两个不发生”
  <2>“A,B,C中不多于（至多）两个发生” $\longleftrightarrow$ “A,B,C中至少有一个不发生”

好了，转化成至少以后就按照之前说的就好了。

• 就至少至多这个点绕一下，其他的都挺简单的。按照这个技巧再把前面的两道例题回炉一下吧。

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概率论与集合论之间的对应关系：

PPT里全集用 $S$来表示，但宋老师和其他慕课里用 $\Omega$的比较多。