「题解」火柴棒等式

题目描述

给你n根火柴棍，你可以拼出多少个形如“A+B=C”的等式？等式中的A、B、C是用火柴棍拼出的整数（若该数非零，则最高位不能是0）。用火柴棍拼数字0-9的拼法如图所示：

注意：

1.加号与等号各自需要两根火柴棍

2.如果A≠B，则A+B=C与B+A=C视为不同的等式（A、B、C>=0）

3.n根火柴棍必须全部用上

输入格式

输入文件matches.in共一行，仅一个整数n（n<=24）。

输出格式

输出文件matches.out共一行，表示能拼成的不同等式的数目。

样例

样例1输入

14

样例1输出

2

样例2输入

18

样例2输出

9

数据范围与提示

【输入输出样例1解释】

2个等式为0+1=1和1+0=1。

【输入输出样例2解释】

9个等式为：

0+4=4

0+11=11

1+10=11

2+2=4

2+7=9

4+0=4

7+2=9

10+1=11

11+0=11

分析

我们可以发现拼0123456789的火柴数是所有数基数，设一个大于9的数为 $\overline{\text{(a1)(a2)(a3)...}}$，那么再设f[i]为整数拼i的火柴数，所以f[ $\overline{\text{(a1)(a2)(a3)...}}$]=f[a1]+f[a2]+f[a3]+…，所以我们可以定义一个函数，来求得f[i]，并且实现记忆化。

应为n≤24，所以最多有20根火柴拼数字，而我们打个暴搜，就可以发现，最大的且不超过24根的为711(7)+1(2)=712(10)，因此，我们枚举到711即可

代码

#include <cstdio>

int a[10005] = {6, 2, 5, 5, 4, 5, 6, 3, 7, 6};
bool used[1000];

int point(int x) {
	if(a[x] != 0) return a[x];				//如果a[x]已经有值了，直接返回
	int sum = 0;				//累加
	int k = x;				//复制一个
	while(x > 0) {
		sum += a[x % 10];
		x /= 10;
	}
	a[k] = sum;				//派上用场了QAQ
	return sum;
}

int main() {
	int n, ans = 0;
	scanf("%d", &n);
	if(n < 10) {				//连1+1=1都拼不出来
		printf("0");
		return 0;
	}
	n -= 4;
	for(int i = 0; i <= 711; i ++) {
		for(int j = 0; j <= 711; j ++) {
			if (used[i] == true && i == j) continue ;				//如果i+i=2*i已经记录过了，就跳过
			if(point(i) + point(j) + point(i + j) == n) {
				++ ans;
			}
			if(i == j) used[i] = true;
		}
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}

附录-暴搜代码

#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#define max(a, b) a > b ? a : b

const int M = 2e5 + 15;
int a[M] = {6, 2, 5, 5, 4, 5, 6, 3, 7, 6};

int point(int x) {
	if(a[x] != 0) return a[x];
	int sum = 0;
	int k = x;
	while(x > 0) {
		sum += a[x % 10];
		x /= 10;
	}
	a[k] = sum;
	return sum;
}

int main() {
	int maxn = -1;
	for(int i = 1; i <= 100005; i ++) {
		for(int j = 1; j <= 100005; j ++) {
			if(point(i) + point(j) + point(i + j) <= 20) {
				maxn = max(max(i, j), maxn);
				printf("\n%d+%d=%d\n", i, j ,i + j);
				printf("%d+%d+%d<=20", a[i], a[j], a[i + j]);
			}
		}
	}
	return 0;
}