（五）【矩阵论】（线性变换矩阵的相似化简）不同基偶下的矩阵|不变子空间|特征值与特征向量|对角化

【矩阵论专栏】

A 线性变换在不同基偶下的矩阵

基到基的过渡矩阵P与线性变换在基偶下的矩阵A的联系：

• 共同点：它们的每一列都是向量的坐标。
• 不同：过渡矩阵是另外一个基的每个向量在原来那个基下的坐标。线性变换原像空间里面那个基里的向量做完线性变换后在像空间这个基下的坐标。P是同一个空间下基之间坐标的关系。A是不同空间之间的。

不同空间
线性变换在不同的基偶下的矩阵是等价的。

同一空间
线性变换在不同的基下的矩阵是相似的的。

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下面主要讨论 $V^n$上的线性变换 $T$
目标：找到 $V^n$上的基 $\Beta$，使得 $T$在基 $\Beta$下的矩阵具有比较简单的形式（对角阵，分块矩阵）。

例子：

B 线性变换的不变子空间

（1）定义1（不变子空间·）设 $T$是 $V^n$上的线性变换， $W$是 $V^n$的子空间，若对任意的 $\alpha\in W$有 $T\alpha\in W$,则称 $W$是 $T$的不变子空间。

零空间和值空间都是不变子空间。

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定理1

C 线性变换的特征值与特征向量

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D 线性变换的对角化

2）每一个特征子空间的和正好等于 $V^n$

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