矩阵分析与多元统计 线性空间与线性变换2

线性映射

$V_1,V_2$是数域 $F$上的两个线性空间， $\mathcal{A}:V_1 \to V_2$是线性映射，如果： $\forall \alpha_1,\alpha_2 \in V_1$， $\lambda \in F$，

1. $\mathcal{A}(\alpha_1+\alpha_2) = \mathcal{A}{\alpha_1} + \mathcal{A}{\alpha_2}$
2. $\mathcal{A}(\lambda\alpha_1) =\lambda \mathcal{A}{\alpha_1}$

假设 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$是 $V_1$的一组基， $\beta_1,\cdots,\beta_m$是 $V_2$的一组基，称 $A \in F^{m \times n}$是线性映射 $\mathcal{A}$在基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$与 $\beta_1,\cdots,\beta_m$下的表示，如果
$\mathcal{A}(\alpha_1,\cdots,\alpha_n) = (\beta_1,\cdots,\beta_m)A$
在给定两组基时，线性映射和它的矩阵表示是一一对应的（证明可以参考史荣昌的矩阵分析第三版定理1.4.1）。

矩阵的等价

假设 $\alpha_1',\cdots,\alpha_n'$是 $V_1$的另一组基，从 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$到这组基的过渡矩阵是 $P$； $\beta_1',\cdots,\beta_m'$是 $V_2$的另一组基，从 $\beta_1,\cdots,\beta_m$到这组基的过渡矩阵是 $Q$，如果 $\mathcal{A}$在 $\alpha_1',\cdots,\alpha_n'$和 $\beta_1',\cdots,\beta_m'$下的矩阵表示为 $B$，则
$B = Q^{-1}AP$
这个等式的证明就是把过渡矩阵和矩阵表示的定义叙述一遍即可，等式两边表达的是同一个向量的等价表示方法而已，此时称矩阵 $A$和矩阵 $B$等价。

线性映射的像空间与核空间

定义 $\mathcal{A}(V_1) = \{\beta = \mathcal{A}(\alpha)\in V_2:\forall \alpha \in V_1\}$为线性映射的像空间，记为 $R(\mathcal{A})$，定义线性映射的秩为
$rank(\mathcal{A}) = \dim R(\mathcal{A})$
定义线性映射的核空间为
$N(\mathcal{A}) = \{\alpha \in V_1: \mathcal{A}(\alpha)=0 \in V_2\}$
称 $\dim N(\mathcal{A})$为线性映射的零度。像空间是 $V_2$的线性子空间，核空间是 $V_1$的线性子空间。

例1.2.1 证明 $rank(\mathcal{A}) = rank(A)$， $A$是任意矩阵表示

关于核空间与像空间有一个很重要的关系：
$\dim R(\mathcal{A}) + \dim N(\mathcal{A}) = \dim V_1$
下面给出一个简单证明：

先证明一个用得上的引理： $R(\mathcal{A}) = span(\mathcal{A}(\alpha_1),\cdots,\mathcal{A}(\alpha_n))$
$\forall \alpha \in V_1$, $\exists \alpha = x_1\alpha_1 + \cdots + x_n \alpha_n$，
$\beta = \mathcal{A}(\alpha) = \mathcal{A}( x_1\alpha_1 + \cdots + x_n \alpha_n) \\ = x_1\mathcal{A}(\alpha_1) + \cdots + x_n \mathcal{A}(x_n) \in V_2$
因此
$R(\mathcal{A}) = span(\mathcal{A}(\alpha_1),\cdots,\mathcal{A}(\alpha_n))$
假设 $\gamma_1,\cdots,\gamma_r$是 $N(\mathcal{A})$的一组基，其中 $r$是 $\mathcal{A}$的零度，将这组基扩展到 $V_1$，记为 $\gamma_1,\cdots,\gamma_r,\gamma_{r+1}',\cdots,\gamma_n'$，则
$R(\mathcal{A}) = span(\mathcal{A}(\gamma_1),\cdots,\mathcal{A}(\gamma_r),\mathcal{A}(\gamma_{r+1}'),\cdots,\mathcal{A}(\gamma_n')) \\ = span(0,\cdots,0,\mathcal{A}(\gamma_{r+1}'),\cdots,\mathcal{A}(\gamma_n'))$
因此
$\dim R(\mathcal{A}) = \dim span(\mathcal{A}(\gamma_{r+1}'),\cdots,\mathcal{A}(\gamma_n'))$
要证明 $\dim R(\mathcal{A}) + \dim N(\mathcal{A}) = \dim V_1$，只需要 $\mathcal{A}(\gamma_{r+1}'),\cdots,\mathcal{A}(\gamma_n')$线性无关：
考虑
$\sum_{j=r+1}^n k_j \mathcal{A}(\gamma_j') = 0 \Leftrightarrow \mathcal{A}(\sum_{j=r+1}^n k_j \gamma_j') = 0 \Leftrightarrow \sum_{j=r+1}^n k_j \gamma_j' \in N(\mathcal{A})$
因此它可以用 $N(\mathcal{A})$的基表示
$\exists \sum_{j=r+1}^n k_j \gamma_j' = \sum_{i=1}^r l_i \gamma_i$
因为 $\gamma_1,\cdots,\gamma_r,\gamma_{r+1}',\cdots,\gamma_n'$线性无关，因此 $\forall k_j=l_i=0$