数学分析笔记13：高维欧式空间与多元连续函数

高维欧式空间的拓扑结构

n维欧式空间上的范数与距离

从本节开始，我们从一元微积分部分进入多元微积分部分。一元微积分的研究对象是实数域及实数域上的函数。多元微积分就建立在n维欧式空间上，研究n维欧式空间上多元函数。同样地，我们要把极限、连续性、可微性和积分推广到高维空间上，那么，应当如何推广呢？
实际上，在一维空间上，极限定义为 $|x_n-x_0|\to 0$。在高维空间上，也有类似于绝对值的概念，实际上， $|a-b|$可以表示为线段 $a$到 $b$的长度， $|x|$就是 $0$到 $x$之间线段的长度，两个点做差的绝对值，就是两个点之间的距离。在 $n$维欧式空间中，长度的定义是：
$||(x_1,\cdots,x_n)||=\sqrt{\sum_{k=1}^n{x_k^2}}$我们把 $n$维向量就简记为 $x$，长度就记为 $||x||$，两个n维空间的点的距离就定义为 $|x_1-x_2||$
$n$维欧式空间上长度有如下性质：
(1) $||x||\ge 0$，并且 $||x||=0$的充要条件为 $x=0$
(2)对任意的实数 $a$， $||ax||=|a|||x||$
(3) $||x+y||\le ||x||+||y||$
容易验证，绝对值就满足这三条性质。这样，两个点之间的距离定义为 $d(x,y)=||x-y||$，就有如下性质：
(4) $d(x,y)\ge 0$， $d(x,y)=0$的充要条件是 $x=y$
(5) $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$
实际上，满足(1)-(3)的函数 $||.||$称为范数，满足(4)-(5)的二元函数 $d(x,y)$称为度量或距离。实际上只要有度量，就可以定义收敛，泛函分析的起点，就是从度量开始，而有范数，就可以产生度量。这样，我们就可以把收敛的概念，从一维实空间，推广到高维欧式空间。
有了度量，就可以定义邻域，又称开邻域：

定义13.1 $R^n$为 $n$维欧式空间， $x_0\in R$， $\delta>0$，称集合
$B(x_0,\delta)=\{x\in R:||x-x_0||<\delta\}$为以 $x_0$为中心， $\delta$为半径的邻域

当然，邻域和度量的选取有关，但在泛函分析中，我们会证明，任意两个范数是等价的，也就是说：如果 $||.||_1,||.||_2$是 $R^n$的两个度量，那么，存在正数 $c_1,c_2>0$，对任意的 $x\in R^n$，都有
$c_1||x||_1\le ||x||_2 \le c_2||x||_2$也就是说，只要度量是由范数诱导的，那么两个度量的邻域是相互包含的关系。后面我们会用度量来定义收敛性，由于由范数诱导产生的两个度量是等价的，那么，在两个度量之下的收敛性，都是一致的，收敛性和范数的选取没有关系。因此，我们后面范数选取的都是欧式范数，度量选取的是欧式度量。

n维欧式空间的点列收敛

有了度量，就可以定义收敛性。

定义13.2 $\{x_k\}$是 $R^n$上的点列，如果存在 $x_0\in R^n$，对任意的 $\varepsilon>0$，存在正整数 $K$， $k\ge K$，都有
$||x_k-x_0||<\varepsilon$记为
$\lim_{k\to\infty}{x_k}=x_0$

按照上面的定义，实际上， $\lim_{k\to\infty}{x_k}=x_0$等价于 $\lim_{k\to\infty}{||x_0-x_k||}=0$。更一般地，假设： $x=(x^{(1)},x^{(2)},\cdots,x^{(n)})$，这样，有
$\max_{1\le i\le n}(|x^{(i)}|) \le ||x|| \le \sqrt{n}\max_{1\le i\le n}(|x^{(i)}|)$如果 $||x_k||\to 0$,那么， $\max_{1\le i\le n}(|x_k^{(i)}|)\to 0$，这就说明了，如果 $x_k\to x_0$，那么， $x_k$各分量都收敛到 $x_0$的各分量，反过来也成立。也就是说， $n$维欧式空间上的收敛性，就等价于依坐标收敛。这样，n维欧式空间上的收敛性，实际上就可以化成数列收敛来考虑。另外，由于不同范数都是等价的。容易证明，两个范数的收敛性是等价的，这样，就不用考虑范数的选择问题。只要在欧式范数下是收敛的，选任何范数都是收敛的。

n维欧式空间上的开闭集

$n$维欧式空间 $R^n$上也可以定义开集和闭集。相关性质和定义都和一维欧式空间的开闭集是一致的。

定义13.3 $E$是 $n$维欧式空间的点集， $x_0\in R^n$
(1)如果存在 $\delta>0$， $B(x_0,\delta)\subset E$， $x_0$称为 $E$的内点，全体内点的集合称为 $E$的内部
(2)如果对任意的 $\delta>0$， $B(x_0,\delta)\cap E \neq \emptyset$， $B(x_0,\delta)\cap E^c \neq \emptyset$，则称 $x_0$是 $E$的边界点，全体边界点的集合称为 $E$的边界
(3)如果存在 $\delta>0$， $B(x_0,\delta)\subset E^c$，则称 $x_0$是 $E$的外点，全体外点的集合称为 $E$的外部

定义13.4 $E$是 $n$维欧式空间的点集，如果 $E$的每个点都是 $E$的内点，则称 $E$是开集，补集是开集的点集称为闭集

定理13.1 $n$维欧式空间上的开集有如下性质：
(1) $\emptyset$和 $R^n$是开集
(2)有限个开集的交集是开集
(3)任意个开集的并集是开集

定理13.2 $n$维欧式空间上的闭集有如下性质：
(1) $\emptyset$和 $R^n$是闭集
(2)有限个闭集的并是闭集
(3)任意个闭集的交是闭集

定义13.5 $E$是 $n$维欧式空间的点集， $x_0\in R^n$，如果 $x_0$的任意去心邻域都有 $E$的点，即： $\forall \delta>0$
$B(x_0,\delta)/\{x_0\} \cap E \neq \emptyset$则称 $x_0$是 $E$的聚点，全体聚点的集合称为 $E$的导集，记为 $E^\prime$，集合 $\overline{E}=E\cup E^\prime$称为 $E$的闭包

定理13.3 $E$是 $n$维欧氏空间上的点集
(1) $E$是闭集的充要条件是 $E^\prime \subset E$
(2) $E$是闭集的充要条件是 $E=\overline{E}$

现在，我们要引入连通性的概念。

定义13.6 $E$是 $R^n$上的点集，如果 $E$的任意两点都有一条折线，这两个折线上每一点都在 $E$内，则称 $E$为连通集， $E$既是连通集，又是开集，则称 $E$是区域，区域的闭包称为闭区域

怎么定义有界性呢，实际上，在一维情形下，有界性等价于存在一个 $0$点的邻域，能将集合盖住。同样地，可以定义 $n$维欧式空间的有界集。

定义13.7 $E$是 $n$维欧式空间上的点集，如果存在 $M>0$， $E\subset B(0,M)$，则称 $E$是有界集。

有界区域和有界闭区域就是一维空间的开区间和闭区间。只不过，在高维情况下，区域的形状更复杂了。

n维欧式空间上的基本定理

现在，我们给出 $n$维欧式空间上的基本定理，这些定理的证明和一维情形比较类似，我们仅列出。

定理13.4(柯西收敛定理) $R^n$是完备的，即 $\{x_k\}$是收敛列的充要条件是： $\forall \varepsilon>0$， $\exists K\ge 1$， $k_1,k_2\ge K$时，都有
$||x_{k_1}-x_{k_2}||<\varepsilon$

定理13.5 $R^n$的任意有界无穷集都有聚点

定理13.6 $R^n$任意有界点列都有收敛子列

定理13.7(闭集套定理) $\{E_k\}$是 $R^n$的有界闭集列，满足：
(1) $diam(E_k)\to 0$
(2) $\{E_k\}$是渐降列
存在唯一的 $x_0\in R^n$， $x_0\in\cap_{k=1}^\infty{E_k}$

定理13.8(有限覆盖定理) $E\subset R^n$是有界闭集， $S=\{F_t,t\in T\}$是 $E$的开覆盖，那么一定存在有限个 $F_1,F_2,\cdots,F_n\in S$
$E\subset \cup_{k=1}^n{F_k}$

多元函数及其连续性

多元函数的极限

多元函数的极限及性质

所谓多元函数，就是 $n$欧式空间上的函数，就记为 $f(x_1,\cdots,x_n)$。定义域是 $n$维欧式空间上的点集。只不过，1维情形下，我们要求到某点的极限存在，则该点的去心邻域都要在定义域之内。然而，在多元函数情形下，由于区域的状况十分复杂，我们，只要求，该点是定义域的一个聚点即可。

定义13.8 $f(x)$是一个定义在 $E$上的 $n$元函数，如果 $x_0\in E^\prime$，存在实数 $A$，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，对任意的 $x \in B(x_0,\delta)/\{x_0\} \cap E$，都有
$|f(x)-A|<\varepsilon$
则称 $f(x)$在 $x\to x_0$过程中收敛， $A$是 $f(x)$在 $x\to x_0$过程的极限，记为
$\lim_{x\to x_0}{f(x)}=A$

同样地，可以定义 $f(x)$在某点的连续性：

定义13.9 $f(x)$是定义在 $E$上的 $n$元函数， $x_0\in E$并且是 $E$的一个聚点，如果 $\lim_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)$
则称 $f(x)$在 $x_0$上连续，如果 $f(x)$在 $E$上每个点都连续（如果是孤立点，则规定 $f(x)$就在该点上连续），则称 $f(x)$在 $E$上连续

类似于一维情形，高维情形的函数极限和点列极限也有如下的关系

定理13.9 $f(x)$是定义在 $E$上的 $n$元函数， $x_0\in E^\prime$，则 $\lim_{x\to x_0}{f(x)} = A$的充分必要条件是对任意的 $\{x_k\} \subset E/\{x_0\}$， $\lim_{k\to\infty}{x_k}=x_0$，都有
$\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=A$

这是一个至关重要的定理，它表明了，多元情形下的函数收敛是各个方面的，全面的函数收敛，就体现在，不论如何选取点列 $\{x_k\}$，只要点列 $\{x_k\}$是收敛到 $x_0$的点，那么 $\{f(x_k)\}$一定收敛到 $A$，在一维情形下，趋向于某点，只有从右和从左两个方向，而高维情形下，却远远不止两个方向，就这个层面而言，多元微积分比一元微积分，又多了这个层面的复杂性。该定理是我们判断极限不存在的重要依据，只要取得两个点列，收敛的极限不一样，或者某个点列对应的函数值数列不收敛，就可以断定，多元函数的极限不存在。
但要判断某个多元函数的极限存在，用上面的定理是相当困难的，困难在要验证任意性，但是，只要我们确定了极限存在，就可以选取某一个特殊的点列，将问题转化为一元数列的收敛，这是这个定理的意义所在。

一维情形下函数极限的性质，可以原封不动地推广到高维情形，由于证明过程类似，我们仅列出定理，不作详细的证明。

定理13.10
(1)函数极限是唯一的
(2)(局部有界性)函数 $f(x)$在某个过程的极限存在，那么在某个时刻之后函数是有界的
(3)(不等式性质)函数 $f(x)$和 $g(x)$在某个过程的极限存在，并且存在某个时刻，在该时刻之后，有 $f(x)\le{g(x)}$，则
$\lim{f(x)}\le\lim{g(x)}$
(4)(不等式性质2)函数 $f(x)$和 $g(x)$在某个过程的极限存在，并且 $\lim{f(x)}<\lim{g(x)}$，则存在某个时刻，在该时刻之后，有 $f(x)<{g(x)}$
(5)(局部保号性1)函数 $f(x)$在某个过程的极限存在，在某个时刻之后，有 $f(x)\le 0(\ge 0)$，则 $\lim{f(x)}\le 0(\lim{f(x)}\ge 0)$
(6)(局部保号性2)函数 $f(x)$在某个过程的极限存在， $\lim{f(x)}> 0(\lim{f(x)}< 0)$，则在某个时刻之后，有 $f(x)> 0(<0)$
(7)函数极限的四则运算性质都成立
(8)(夹逼准则)函数 $f(x)$和 $g(x)$在某个过程的极限都等于 $A$，并且在该过程的某个时刻之后，都有 $f(x)\le h(x) \le g(x)$，则 $h(x)$在该过程的极限存在，并且 $\lim{h(x)}=A$

类似地，可以同一维情形一样，定义无穷小量和无穷大量，定义和性质类似，这里就不详细地列出\
下面，我们给出一些多元函数极限存在性判断以及求解的例子：

例13.1 设 $f(x,y)=xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$，求证：
$\lim_{(x,y)\to (0,0)}{f(x,y)}=0$

证：
由三角不等式：
$|\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}|\le |\frac{x^2}{x^2+y^2}|+|\frac{y^2}{x^2+y^2}|=1$因此：
$|f(x,y)|\le |xy| \le \frac{x^2+y^2}{2}$对任意的 $\varepsilon>0$，当 $\sqrt{x^2+y^2}<\sqrt{2\varepsilon}$时，就有
$|f(x,y)|<\varepsilon$

例13.2 $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$，证明 $f(x,y)$在 $(0,0)$处极限不存在

证：
$x_n=y_n=\frac{1}{n}$时，就有
$f(x_n,y_n)=\frac{1}{2}$故： $f(x_n,y_n)\to \frac{1}{2}$\
而 $x_n=\frac{1}{n},y_n=0$时， $f(x_n,y_n)=0$，因此， $f(x,y)$在 $(0,0)$
处不收敛。

累次极限和全面极限的区别

累次极限就是指对各个变元分别，累次地求极限。这样，就可以化成一元函数的极限来对多元函数进行求解，那么，能不能这样做呢？答案是否定的，原因是累次极限和全面极限没有必然的联系，下面我们会举例说明这点。
1.累次极限存在，全面极限不存在：

例13.3 $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$，我们已经证明了其在 $(0,0)$处全面极限不存在，然而，当 $y\neq 0$时， $\lim_{x\to 0}{f(x,y)}=0$，从而
$\lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}{f(x,y)}=0$累次极限存在，全面极限不存在

为什么会出现累次极限存在，全面极限不存在的情况呢？原因是因为累次极限只是其中的一种趋近方式，至少在二元情形下，趋向于某一个点的方向非常复杂，其中一种方向的极限，不能说明全面极限的存在。

2.全面极限存在，累次极限不存在

例13.4 $f(x,y)=x\sin{\frac{1}{y}}$在 $(0,0)$处全面极限为 $0$，而 $x\neq 0$时， $\lim_{y\to 0}{f(x,y)}$不存在。

可见累次极限也不是单纯地从某一个方向的趋近，第一次累次极限不一定有意义，从而累次极限，也不一定存在，然而，全面极限确是可能存在的。
那么，两者到底有没有联系呢？实际上，如果两者都存在，那么，一定是相等的。

定理13.11 若 $f(x,y)$在 $(x_0,y_0)$的某个去心邻域上有定义，当 $y\neq y_0$时，极限
$\lim_{x\to x_0}{f(x,y)}$存在，如果并且 $f(x,y)$在 $(x_0,y_0)$处极限也存在，那么极限
$\lim_{y\to y_0}lim_{x\to x_0}{f(x,y)}$也存在
$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}{f(x,y)}=\lim_{y\to y_0}lim_{x\to x_0}{f(x,y)}$

证：
设 $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}{f(x,y)}=A$对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta$时，都有
$|f(x,y)-A|<\varepsilon$当 $0<|y-y_0|<\delta$时，只要 $0<|x-x_0|<\delta^2-|y-y_0|^2$，就有
$A-\varepsilon<f(x,y)<A+\varepsilon$由极限的不等式性质
$A-\varepsilon\le \lim_{x\to x_0}{f(x,y)} \le A+\varepsilon$这样就证明了：
$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}{f(x,y)}=\lim_{y\to y_0}lim_{x\to x_0}{f(x,y)}$

在前面极限存在的情况下，只要累次极限存在（不论是何种求极限的次序），所求的结果都是一致的，然而，全面极限不存在的情况下，以不同的次序求累次极限，结果可能不同。

例13.5 $f(x,y)=\frac{y}{x^2+y}$在 $(0,0)$处的极限不存在，但两个累次极限都存在
$\lim_{y\to 0}{f(x,y)}=0$ $\lim_{x\to 0}{f(x,y)}=1$

因此，不同求极限次序，得到的结果都不相同，反过来，如果在不同次序下求极限的结果不相同，那么累次极限一定不存在。这就是多元函数“方向全面”的含义。

多元连续函数及其性质

多元情形下连续函数的性质，和一元是类似的。只不过在一元情形下是“闭区间”上的连续函数，原因是，一元情形下，闭区域就等价于闭区间，而在多元情形下，闭区域却可以有纷繁复杂的几何图形，因此，我们再多元情形下，主要考察的是有界闭区域上的连续函数。

定理13.12 $f(x)$和 $g(x)$是都是定义在 $E$上的 $n$元函数， $x_0$在 $E$内并且是 $E$的聚点
(1) $f(x)$和 $g(x)$在 $x_0$上连续，则 $f(x)\pm g(x)$在 $x_0$上连续
(2) $f(x)$和 $g(x)$在 $x_0$上连续，则 $f(x)g(x)$在 $x_0$上连续
(3) $f(x)$和 $g(x)$在 $x_0$上连续, $g(x_0)\neq 0$，则 $\frac{f(x)}{g(x)}$在 $x_0$上连续

其次，我们要考虑 $n$元函数的复合，只不过，在多元情形下，复合的情况比较复杂，下面，我们引入向量函数的概念。

定义13.10 $R^n$上的点集 $E$到 $R^m$上的映射称为 $n$元 $m$维向量函数

实际上， $n$元 $m$维向量函数 $g$，可以看成 $m$个 $n$元函数组成一个向量，即：
$g(x_1,\cdots,x_n)=(g_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,g_m(x_1,\cdots,x_m))$我们不是没有接触过向量函数，实际上，平面曲线的参数方程形式，就是一个 $1$元 $2$维向量函数。我们将向量函数的极限，定义为各个分量的多元函数的极限，向量函数在 $x_0$上连续就定义为各个分量函数在 $x_0$上连续。当然，你可以以度量的形式给出向量函数的极限和连续性，容易证明，两种极限和连续性的定义是等价的。

定理13.13 $g(y_1,\cdots,y_m)$在 $(y_1^0,\cdots,y_m^0)$的某个邻域 $B_1$有定义且在 $(y_1^0,\cdots,y_m^0)$处连续， $n$元 $m$维向量函数 $f(x_1,\cdots,x_n)$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$的某个邻域 $B_2$上有定义，并且在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$上连续，同时，满足：
(1) $f(x_1^0,\cdots,x_n^0)=(y_1^0,\cdots,y_m^0)$
(2) $f(B_2)\subset B_1$
则 $g(f(x_1,\cdots,x_n))$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$上连续

该定理的证明，和一维情形完全类似，只不过引入了向量函数的连续性的概念，这里给出详细的证明。
类似于一元函数情形，多元函数也有类似于一元函数的性质：

定理13.14 $n$维欧式空间上有界闭集上的连续函数是有界的，并且可取得最大值和最小值

定理13.15 $n$维欧式空间上有界闭集上的连续函数是一致连续的

定理13.16 $n$维欧式空间上有界闭区域上的连续函数值域是一个闭区间

这三个定理是我们求多元函数最值的重要依据。