数学分析 - 多元函数的微分学

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多元函数的可微性

可微性

|| 定义一：可微性和全微分的定义

（注意：全增量—> 全微分）

偏导数

|| 定义二：偏导数的定义

|| 偏导数的几何意义：

可微性条件

|| 定理1：可微的必要条件

|| 全微分的新形式： dz = f_x(x,y)dx + f_y(x,y)dy

|| 定理2：可微的充分条件：

|| 定理3：全增量的另一种形式

可微性的几何意义

|| 定义三：切平面的定义（类比一元函数中切线的定义）

|| 定理4：函数在点上可微的充要条件

|| 切平面方程

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复合函数微分法

|| 多元复合函数的定义：

|| 定理5：多元复合函数的偏导数的求导法则（链式法则）

（注意：复杂的多元函数，可以使用树的形式来查看推导路径）例如：

复合函数的全微分

|| 非复合函数的全微分公式：

|| 全微分的公式：

|| 一阶全微分形式不变性

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方向导数和梯度

偏导数只是多元函数在坐标轴方向上的变化率，而方向函数将获得多元函数在其他特定方向的变化率

|| 定义：方向导数的定义

|| 定理6：方向导数的公式

|| 定义：梯度的定义（一个特殊的方向向量）

|| 方向导数的另一种形式：（即向量相乘形式）

（注意：其中的 l₀= (cosA,cosB,cosC) 为l方向上的单位向量，而角度θ为gradf(P₀)与l₀的夹角）

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泰勒公式和极值问题

高阶偏导数

|| 多元函数多种形式的偏导数。eg：

|| 定理7：混合偏导数相等条件

多元函数的中值定理和泰勒公式

|| 凸区域的概念
若区域D上任一两点的连线都含于D，则称D为凸区域，即满足下列式子：

|| 多元函数的中值定理

|| 多元函数中值定理的推论：若 f 存在偏导数 f_x=f_y=0，则f在区域D上位常量函数

|| 定理9：泰勒定理

（注意：多元函数中值公式即为泰勒公式在n=0时的特殊情形）

极值问题

|| 定义：多元函数的极值定义

|| 定理10：极值的必要条件

（注意：满足上式的点称为稳定点，极值点必为稳定点，但是稳定点不都是极值点）

|| 黑赛矩阵（二阶偏导数矩阵）

|| 定理11：极值充分条件

（注意：n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。
n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。
n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值既有＞0，又有＜0，还有可能=0）

|| 定理11 的使用形式：