数学分析_导函数连续问题分析

导函数连续即
$$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }{f}^{\prime }(x)$$

判断一个导函数在某点连续与否，就要看上面这个式子成立与否,通常情况下我们要判断的函数都是连续的，因为不连续的情况太好判断了。

$f(x)$是连续函数，则有
$$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }{f}^{\prime }(x)(\ast )$$
从上式看出，只要是连续函数，就有$f(a)={\lim }_{x\to a}f(x)$，满足$\frac{0}{0}$型，可以用洛必达法则，因而推出了，导函数也是连续的，这和我们的认知出现了偏差，那错在哪呢？

先给出结论：
在$U(a;\delta )$邻域内可导，则连续函数的导数在$a$点连续

原因显而易见了，就是$U(a;\delta )$邻域可导这一条件，$(\ast )$式最后一步用的洛必达法则，如果$U(a;\delta )$邻域不可导，那么最后一步是不可以用洛必达的，导函数连续也不存在了，如果题目有这个条件，那么导函数肯定是连续的。

例.$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{2}sin\frac{1}{x},& \text{x=0}\\ 0,& \text{x=0}\end{array}$$
$$f_{+}’(x)=\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0+}{\lim }xsin\frac{1}{x}=0$$
$$f_{-}’(x)=\underset{x\to 0-}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0-}{\lim }xsin\frac{1}{x}=0$$
$x=0$点处导数存在且等于0.

因而$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}2xsin\frac{1}{x}-cos\frac{1}{x},& \text{x=0}\\ 0,& \text{x=0}\end{array}$$
$f(x)$是连续函数，而它的导函数是不连续的

这个例子中$U(0;\delta )$邻域就是不可导的，因此用$(\ast )$式最后一步对这个函数来说是不成立的，在0点导数不连续。