二重积分若干例题分析

1 理论分析

从二重积分开始，积分学就开始在一元定积分的基础上进行一定的推广，研究对象从一元函数变成二元函数，积分区间由一元区间变成二元区域.

同济版的高数是从几何意义去引入二重积分. 这和一元定积分是类似的思想. 这个角度也比较容易理解. 具体如下:
一个立体， $z=f(x,y)$ 定义为它的顶， 区域 $D$ 定义为底，侧面以 $D$ 的边界曲线为准线而母线平行于 $z$轴的柱面. 这样的立体想求的它的体积等价于求 $D$ 上的二重积分.

相关二重积分的理论在数学分析是涉及了。尤其是分割的思想自然必不可少. 下面两条是可积性定理。
1 有界闭区域 $D$ 上的连续函数必可积。
2 设 $f(x,y)$ 是定义在有界的闭区域 $D$上的有界函数， 若 $f(x,y)$ 的不连续点落在有限的光滑曲线上，则 $f(x,y$在 $D$上可积.
第2个虽然遇到的情况比较少，但是心里要有数.

2 计算分析

同样我们比较关心二重积分的计算方法. 一般而言分为直角坐标下的和极坐标下的两种计算模式.
直角坐标下的计算一般去考虑化成累次极限去求，这一块数学分析有严格的定义方法证明。 相关公式和推导可以参考相关教材.还有一个方法采用物理的微元法去推导。
积分次序的分析是重要的.
先积 $x$ 依据 区域是 $y$型区域。对应先积 $y$ 依据 区域是 $x$型区域。

这一块举了一个对初学者稍微复杂计算例子计算:
$\iint_D x^2+y^2d\sigma ,\, \text{其中} D=\{x^2+y^2 \leq1\}$
它的积分区域是个圆，既是 $x$ 区域也是 $y$型区域，
我们可以按照 $x$区域去做。其中考虑对称性。
那么就得到;

$4\int_0^1\int_0^{\sqrt{x^2-1}}x^2+y^2dydx$

此时先积 $y$里面得到 $\frac {1} {3}\left (1 - x^2 \right)^{3/2} + x^2\sqrt {1 - x^2}$, 这里卖个关子，读者可以试试进一步怎么求?

(参考：此时采用定积分的换元法，令 $x=\cos(t)$ 可以进一步处理. )

第二种方法是积分变换法：转极坐标. 令 $x=r\cos(\theta), y=r\sin(\theta)$
积分变换成：
$\int_0^{2\pi}\int_0^{1}r^3drd\theta$
这时再去考虑积分就容易多了.

在介绍下面的习题的时候我们先考虑一个小问题
$x=\sqrt{x^2}$
吗？
容易认为相等，其实不相等！只有当 $x>0$ 才等价. 其实右边函数
$\sqrt{x^2}$ 在实数范围是一个分段函数.
$\sqrt{x^2}= \begin{cases} x &\text{如果 } x>0 \\ -x &\text{如果} x\leq0 \end{cases}$

问题2
求
$\int_0^1\int_{-\sqrt{y-y^2}}^{\sqrt{y-y^2}}\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy$

解： 该积分区域 $0\leq x \leq1, -\sqrt{y-y^2}\leq x \leq \sqrt{y-y^2}$ 作极坐标变换，得到

$\int_0^{\pi}\int_{0}^{\sin(\theta)}\sqrt{1-r^2}rdrd\theta$
先积 $r$ 得
$-\frac{1}{3}\left((\cos^2(\theta) )^{\frac{3}{2}} -1\right).$
注意这里很容易进行错误的化简，得到错误结果. 认为函数等价于 $-\frac{1}{3}\left(\cos^3(\theta) -1 \right).$ 其实不然， 道理和前面的小例子一样.

$(\cos^2(\theta))^{\frac{3}{2}}$ 实际上等价于下面函数：
$(\cos^2(\theta))^{\frac{3}{2}}= \begin{cases} \cos^3(\theta) &\text{如果}\, -\frac{\pi}{2}+kZ\leq\theta\leq \frac{\pi}{2}+kZ\\ -\cos^3(\theta) &\text{如果}\, \frac{\pi}{2}+kZ\leq\theta\leq \frac{3\pi}{2}+kZ\\ \end{cases}.$
结合 $\theta\in[0, \pi]$ 进一步将所求积分转成
$-\frac{1}{3}(\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^3(\theta)d\theta-\int_\frac{\pi}{2}^{\pi} \cos^3(\theta)d\theta)+\frac{\pi}{3}$
考虑处理上面的第二项， 令 $y=\theta-\frac{\pi}{2}$ 因为 $\int_\frac{\pi}{2}^{\pi} \cos^3(\theta)d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3(y+\frac{\pi}{2})dy=-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 (\theta)d\theta=-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 (\theta)d\theta,$
所以 所求积分归结为
$-\frac{2}{3}\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^3(\theta)d\theta+\frac{\pi}{3}.$

至于 $\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^3(\theta)d\theta$ . 我们可以直接计算 $\frac{2}{3}$ . ( $\sin^n(x)$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 定积分有公式，见注1） 于是此时得到最终结果 $-\frac{4}{9}+\frac{\pi}{3}.$
注1
令 $J_n=\int_0^\frac{\pi}{2}{\sin^n(x)dx}$, 有下面成立
$J_{2k}=\frac{(2k-1)(2k-3)\cdot\ldots\cdot 3\cdot1}{2k(2k-2)\cdot\ldots\cdot 4 \cdot2}\cdot \frac{\pi}{2}\\ J_{2k+1}=\frac{2k(2k-2)\cdot\ldots\cdot 2}{(2k+1)(2k-1)\cdot\ldots\cdot 3}\cdot$

问题2 来自无敌猪猪侠, 动机是想问 Maple 能否直接求解, 试了试 Maple2019 是可以直接求解的. 时间：2020 年 4 月 2 日.