二重积分、三重积分

二重积分：

二重积分的现实(物理)含义：面积 × 物理量 = 二重积分值；
举例说明：二重积分的现实(物理)含义：

二重积分计算平面面积，即：面积 × 1 = 平面面积
二重积分计算立体体积，即：底面积 × 高 = 立体体积
二重积分计算平面薄皮质量，即：面积 × 面密度 = 平面薄皮质量

二重积分的定义式：

\iint_{D} f (x, y) d σ

$\iint_Df(x,y)d\sigma$ 其中

x

$x$ 与

y

$y$ 叫做积分变量，

f (x, y)

$f(x,y)$ 叫做被积函数，

d σ

$d\sigma$ 叫做面积元素，

D

$D$ 叫做积分区域

二重积分的表达形式：
1、直角坐标形式：

\iint_{D} f (x, y) d x d y

$\iint_Df(x,y)dxdy$ 其中

d x d y 叫 做 直 角 坐 标 系 中 的 面 积 元 素

$dxdy叫做直角坐标系中的面积元素$
2、极坐标系形式：

\iint_{D} f (ρ \cos θ, ρ \sin θ) ρ d ρ d θ

$\iint_Df(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta$ 其中

ρ d ρ d θ

$\rho d\rho d\theta$ 叫做极坐标系中的面积元素

二重积分的计算法：将二重积分转化为二次积分计算
1、在直角坐标系下， $f(x,y)中x的取值区间为[x_0,x_1]，则可推到出y的取值区间为[g(x_0),g(x_1)]$ ，则有

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \int_{x_{0}}^{x_{1}} d x \int_{g (x_{0})}^{g (x_{1})} f (x, y) d y

$\iint_Df(x,y)dxdy = \int_{x_0}^{x_1}dx\int_{g(x_0)}^{g(x_1)}f(x,y)dy$
反之，若

f (x, y)

$f(x,y)$ 中y的取值区间为[y_0,y_1]，则可推到出x的取值区间为

[g (y_{0}), g (y_{1})]

$[g(y_0),g(y_1)]$ ，则有

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \int_{y_{0}}^{y_{1}} d y \int_{g (y_{0})}^{g (y_{1})} f (x, y) d x

$\iint_Df(x,y)dxdy = \int_{y_0}^{y_1}dy\int_{g(y_0)}^{g(y_1)}f(x,y)dx$

2、在极坐标系下， $f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)$ 中 $\theta$ 的取值范围为 $[\theta_0,\theta_1]$ , $\rho$ 的取值范围为 $[\rho_0, \rho_1]$ ，则有

\iint_{D} f (ρ \cos θ, ρ \sin θ) ρ d ρ d θ = \int_{θ_{0}}^{θ_{1}} d θ \int_{ρ_{0}}^{ρ_{1}} f (ρ \cos θ, ρ \sin θ) ρ d ρ

$\iint_Df(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta = \int_{\theta_0}^{\theta_1}d\theta\int_{\rho_0}^{\rho_1}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho$

三重积分：

三重积分的现实(物理)含义：体积 × 物理量 = 三重积分值；
举例说明：

二重积分计算立体体积，即：体积 × 1 = 立体体积
三重积分计算立体质量，即：体积 × 体密度 = 立体质量

三重积分的定义式：

∭_{Ω} f (x, y, z) d v

$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv$ 其中

f (x, y, z)

$f(x,y,z)$ 叫做被积函数，

d v

$dv$ 叫做体积元素，

Ω

$\Omega$ 叫做积分区域

三重积分的表达形式：
1、直角坐标形式：

∭_{Ω} f (x, y, z) d x d y d z

$\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz$ 其中

d x d y d z

$dxdydz$ 叫做直角坐标系的体积元素
2、柱面坐标系形式：

∭_{Ω} f (ρ \cos θ, ρ \sin θ, z) ρ d ρ d θ d z

$\iiint_\Omega f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)\rho d\rho d\theta dz$ 与定义式的关系为

{\begin{matrix} x = ρ \cos θ \\ y = ρ \sin θ \\ z = z \\ d v = ρ d ρ d θ d z \end{matrix}

$\left\{ \begin{array}{c}x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \\ z = z \\dv = \rho d\rho d\theta dz\end{array}\right.$
3、球面坐标系形式：

∭_{Ω} f (r \sin ψ \cos θ, r \sin ψ \sin θ, r \cos ψ) r^{2} \sin ψ d r d ψ d θ

$\iiint_\Omega f(r\sin\psi\cos\theta,r\sin\psi\sin\theta,r\cos\psi)r^2\sin\psi dr d\psi d\theta$ 与定义式的关系为

{\begin{matrix} x = r \sin ψ \cos θ \\ y = r \sin ψ \sin θ \\ z = r \cos ψ \\ d v = r^{2} \sin ψ d r d ψ d θ \end{matrix}

$\left\{ \begin{array}{c}x = r\sin\psi\cos\theta \\ y = r\sin\psi\sin\theta \\ z = r\cos\psi \\dv = r^2\sin\psi dr d\psi d\theta\end{array}\right.$ 其中

r是图形到原点的距离
$\psi$ 是图形与y轴的角度，原点为顶点
$\theta$ 是图形与x周的角度，原点为顶点

三重积分的计算法：
1、将三重积分转化为三次积分计算：
在直角坐标系下： $f(x,y,z)$ 中的z的取值范围可以被 $x$ 、 $y$ 表示为 $[z_0(x,y),z_1(x,y)]$ ，在 $x$ 、 $y$ 平面上， $y$ 的取值范围可以被 $x$ 表示为 $[y_0(x), y_1(x)]$ ， $x$ 的取值范围可以表示为 $[x_0, x_1]$ ，则有

∭_{Ω} f (x, y, z) d v = \int_{x_{0}}^{x_{1}} d x \int_{y_{0} (x)}^{y_{1} (x)} d y \int_{z_{0} (x, y)}^{z_{1} (x, y)} f (x, y, z) d z

$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv = \int_{x_0}^{x_1}dx\int_{y_0(x)}^{y_1(x)}dy\int_{z_0(x,y)}^{z_1(x,y)}f(x,y,z)dz$

2、将三重积分转化为一个二重积分和一个单积分
在直角坐标系下： $f(x,y,z)$ 中的 $z$ 的取值范围为 $[z_0,z_1]$ ， $x$ 、 $y$ 所组成的区域可以表示为区域 $D$ ，则有：

∭_{Ω} f (x, y, z) d v = \int_{z_{0}}^{z_{1}} d z \iint f (x, y, z) d x d y

$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv = \int_{z_0}^{z_1}dz\iint f(x,y,z)dxdy$