算法讲解
（本篇文章假设您学过莫比乌斯反演 (〃'▽'〃)
我们知道莫比乌斯函数有一个性质： \(\sum\limits_{d|n} \mu(d)=[n=1]\)
根据这条性质，我们写出一个类似筛的东西：一个数组，初始都是 \(0\)。 第 \(i\) 轮，将 \(i\) 的倍数都加上 \(\mu(i)\)。
\(n\) 轮之后，显然只有第一个位置还剩一个 \(1\)，其它都变成了 \(0\)。好好理解下这个表，然后往下看。
那么，假设现在我们要求 \(n=1\) 时的答案，但是我们方便求的只有 \(n\) 的倍数的答案和，如何转化捏 （⊙.⊙）
我们设 \(f(x)\) 表示 \(n\) 恰好为 \(x\) 的答案，\(F(x)\) 表示 \(n\) 为 \(x\) 的倍数的答案和，即 \(\sum\limits_{d|n} f(n)\)。
考虑 \(\sum\limits_{i=1}^{n} \mu(i)F(i)\)，
它 \(=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{i|j} \mu(i)f(j)\)
考虑每个 \(f(i)\) 被算了多少次，变为：
\(\sum\limits_{j=1}^{n} f(j) \sum\limits_{i|j} \mu(i)=\sum\limits_{j=1}^{n} f(j) [j=1]=f(1)\)
\(f(1)\) 不就是我们要求的，\(n\) 恰好为 \(1\) 的方案吗(✪ω✪)
所以，莫比乌斯容斥的解题步骤：
- 转化成 \(n=1\) 的方案（一般这步比较考思维）
- 求 \(n\) 的倍数的方案和
说这些有点抽象，还是做点题☆daze~
起飞~
T1. CF 439E
给定 \(q\) 个询问，每次给定 \(n,k\) ，问有多少种方法，把 \(n\) 分成 \(k\) 个数相加，并且 所有数 的 \(\gcd\) 为 \(1\)（即：允许有部分的 \(\gcd\) 不为 \(1\) ，比如 \(n=20,k=3\) 时，\(\{2,3,15\}\) 是合法的一组拆分）
\(q,n\le 10^5,k\le n\)
题解
如何转化成上面的 “\(n=1\) 的方案数” 呢
设 \(f(i)\) 表示：\(k\) 个数的 \(\gcd=i\) 的方案数，\(F(i)\) 表示：\(k\) 个数的 \(\gcd\) 为 \(i\) 的倍数的方案数（即：\(k\) 个数都是 \(i\) 的倍数的方案数）
\(F(i)\) 好求。显然，此时 \(i\) 是 \(n\) 的因数（\(k\) 个数都是 \(i\) 的倍数，所以它们加起来， \(n\) 也是 \(i\) 的倍数）。如果不是，那么 \(F(i)=0\)
然后所有数都是 \(i\) 的倍数的划分方案，我们可以把 \(i\) 个数并成一块，然后有 \(n/i\) 个块，任意划分成 \(k\) 个部分，求方案数。然后我们在 \(n/i\) 个块中间插入 \(n/i-1\) 个隔板，选择 \(k-1\) 个，就能把 \(n\) 个数分成 \(k\) 个部分，每个部分都是 \(i\) 的倍数了。这样方案数是 \(F(i)=C_{n/i-1}^{k-1}\)。预处理阶乘和阶乘逆元，这个 \(O(1)\) 算。
然后根据莫比乌斯容斥的式子，\(f(1)=\sum\limits_{i=1}^{n} F(i)\)。然后在这题中要变下型 （看上面），因为 \(i|n\) 时，\(F(i)\) 才能按照上面的方法算，否则 \(F(i)=0\)。于是， \(f(1)=\sum\limits_{i|n} F(i)\)
然后这个枚举因数是 \(O(\sqrt{n})\) 的。总的复杂度 \(O(q\sqrt{n})\)，能过。
代码 （篇幅问题，我就不放主页了(*▽*)）（代码看不懂的右下角联系我，或者在代码那边的评论区留言~~❤）
T2. CF 900D
同样是求划分的问题。相当于在 \(T1\) 的基础上：
- 去掉 \(k\) 的限制
- 一组询问，范围改成 \(n\le 10^9\)，答案模 \(10^9+7\)
- 给定了参数 \(y\)，划分完所有数的 \(\gcd=y\) （而不是等于 \(1\)）
题解
所有数 \(\gcd=y\)，相当于所有数除以 \(y\) 之后 \(\gcd=1\)。
然后没有了 \(k\) 的限制，相当于所有的隔板随便选/不选。这咋整捏 ⊙(・◇・)？
假设有 \(n\) 个隔板，答案为 \(2^{n}\)。然后，\(n\) 个数不限个数划分，每个数都是 \(y\) 的倍数，方案数就是 \(2^{n/y-1}\)。
然后要注意的是，\(n\le 10^9\)，只有一部分 \(\mu\) 可以筛出来，超过范围的就只好暴力算了。
这个时间复杂度有点玄学...但还是能过的 φ(>ω<*)
T3. CF1036F
\(T\) 组询问，每次询问 \([2,n]\) 中有多少好数。一个数 \(x\) 是“好数”，那么不存在任何一个 \(k\) 使得 \(\sqrt[k]{x}\) 是整数。
\(T\le 10^5,x\le 10^{18}\)。
题解
一个数是“好数”，那么它分解质因数后，所有指数的 \(\gcd=1\)
然后我们考虑所有指数的 \(\gcd\) 是 \(k\) 的倍数怎么算。很显然，这个方案数就是 \(\lfloor \sqrt[k]{x} \rfloor\) 。
然后 \(k\) 大概枚举到 \(60,70\) 就够了。
然后卡亿点点常数就过了 o(╥﹏╥)o
结语
如果您认真的看完并理解了我上面的瞎扯...
恭喜您！学会了莫比乌斯反演！φ(>ω<*)
完结撒花花~~~