图 & 拓扑排序 - 207. 课程表
现在你总共有 n 门课需要选，记为
0到n-1。在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们:
[0,1]给定课程总量以及它们的先决条件，判断是否可能完成所有课程的学习？
示例 1:
输入: 2, [[1,0]] 输出: true 解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0。所以这是可能的。示例 2:
输入: 2, [[1,0],[0,1]] 输出: false 解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成 课程 0；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1。这是不可能的。 说明:输入的先决条件是由 边缘列表 表示的图形，而不是邻接矩阵。详情请参见图的表示法。
你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。提示:
这个问题相当于查找一个循环是否存在于有向图中。如果存在循环，则不存在拓扑排序，因此不可能选取所有课程进行学习。
拓扑排序可以通过DFS和BFS实现
一. 知识要点
-
图
- 图的术语
- 顶点：图的节点
- 边：顶点与顶点的连线
- 相邻顶点：由一条边连接在一起的顶点
- 度：一个顶点的度是相邻顶点的数量
- 路径：路径是顶点v1, v2…, vn的一个连续序列, 比如0 1 5 9就是一条路径.
- 环：一条路径包含相同的顶点两次或者两次以上
- 无环图：没有环的图，其中 有向无环图 有特殊名称：DAG
- 连通分支：不相交的连通子图称为图的连通分支。
- 图的分类
- 方向：
- 无向图：所有的边都没有方向.
- 有向图：边是有方向的
- 权重：
- 带权图：边上有权重
- 无权图：边上无权重
- 方向：
- 图的表示方式
- 邻接矩阵
- 用二维数组表示顶点之间的连接
- 存储方式：二维数组
- 画图演示
- 邻接表
- 由图中每个顶点以及和顶点相邻的顶点列表组成。
- 存储方式：数组/链表/字典(哈希表)
- 画图演示
- 邻接矩阵
- 图的术语
-
拓扑排序方式
-
BFS - 广度优先搜索
-
DFS - 深度优先搜索
-
二.实现思路
通过
拓扑排序判断图是否是有向无环图(DAG)
BFS（广度优先遍历）
- 统计课程安排图中每个节点的入度，生成 入度表
indegrees。 - 借助一个队列
queue，将所有入度为0的节点入队。 - 当 queue 非空时，依次将队首节点出队，在课程安排图中删除此节点 pre：
- 并不是真正从邻接表中删除此节点 pre，而是将此节点对应所有邻接节点 cur 的入度 -1，即 indegrees[cur] -= 1。
- 当入度 -1−1后邻接节点 cur 的入度为 0，说明 cur 所有的前驱节点已经被 “删除”，此时将 cur 入队。
- 在每次 pre 出队时，执行
numCourses--；- 若整个课程安排图是有向无环图（即可以安排），则所有节点一定都入队并出队过，即完成拓扑排序。换个角度说，若课程安排图中存在环，一定有节点的入度始终不为
0。 - 因此，拓扑排序出队次数等于课程个数，返回 numCourses == 0 判断课程是否可以成功安排。
- 若整个课程安排图是有向无环图（即可以安排），则所有节点一定都入队并出队过，即完成拓扑排序。换个角度说，若课程安排图中存在环，一定有节点的入度始终不为
DFS（深度优先遍历）
- 借助一个标志列表
flags，用于判断每个节点i（课程）的状态：- 未被 DFS 访问：
i == 0； - 已被其他节点启动的DFS访问：
i == -1； - 已被当前节点启动的DFS访问：
i == 1。
- 未被 DFS 访问：
- 对
numCourses个节点依次执行 DFS，判断每个节点起步 DFS 是否存在环，若存在环直接返回 False。DFS 流程；- 终止条件：
- 当
flag[i] == -1，说明当前访问节点已被其他节点启动的 DFS 访问，无需再重复搜索，直接返回 True。 - 当
flag[i] == 1，说明在本轮 DFS 搜索中节点 i 被第 2 次访问，即 课程安排图有环，直接返回 False。
- 当
- 将当前访问节点 i 对应
flag[i]置 1，即标记其被本轮 DFS 访问过； - 递归访问当前节点
i的所有邻接节点j，当发现环直接返回 False； - 当前节点所有邻接节点已被遍历，并没有发现环，则将当前节点
flag置为 -1 并返回 True。
- 终止条件：
- 若整个图 DFS 结束并未发现环，返回 True。
三.代码实现
BFS
class Solution {
//numCourses : 选课数量
//prerequisites : 本质上存的都是图的有向边
public static boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
//第一部分：初始化数据
int[] indegrees = new int[numCourses];
//初始化每个顶点的入度。
//prerequisites = {{1, 0}, {3, 0}, {2, 1},{3, 2}};
for(int[] cp : prerequisites) {
//第一次循环:cp={1, 0};cp[0]=1
//第二次循环:cp={3, 0};cp[0]=3
//第三次循环:cp={2, 1};cp[0]=2
//第四次循环:cp={3, 2};cp[0]=3
//每次加一 : 因为cp[0]是被指向的节点，indegrees[cp[0]]代表第几个节点。cp[0]每重复一次，就说明这个节点入度多了一次。
indegrees[cp[0]]++;
}
//循环完毕得出节点入度数组 : indegrees = { 0 , 1 , 1 , 2 }
LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>();
//将入度为0的节点添加到queue链表中 : queue = ["0"]
for(int i = 0; i < numCourses; i++){
if(indegrees[i] == 0) queue.addLast(i);
}
//第二部分：逻辑处理
//如果 存放入度为0的节点的链表queue 非空，则进入循环
while(!queue.isEmpty()) {
//依次将队首节点出队，pre就是首节点
//第一次循环: pre = 0
Integer pre = queue.removeFirst();
//选课数量减一
numCourses--;
//prerequisites = {{1, 0}, {3, 0}, {2, 1},{3, 2}};
for(int[] req : prerequisites) {
//通过队首节点pre，筛选到与队首节点所有邻接节点之间的连接线
if(req[1] != pre) {
continue;
}
//第一次循环 : req 为 1 和 3
//队首节点的入度减一
//如果节点1 和 3 的入度为 0 ，则将 1 和 3 再次加入到入度为0的节点的链表queue
if(--indegrees[req[0]] == 0) {
queue.add(req[0]);
}
}
}
//出队次数等于课程数的话，就可以选课成功
return numCourses == 0;
}
public static void main(String[] args) {
int[][] a = {{1,0}, {3, 0}, {2, 1},{3, 2}};
boolean b = canFinish(4, a);
System.out.println(b);
}
}
DFS
class Solution {
public static boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
//构建邻接矩阵
int[][] adjacency = new int[numCourses][numCourses];
//设置一个flags数组，记录节点状态
//未被 DFS 访问：i == 0；
//已被其他节点启动的DFS访问：i == -1；
//已被当前节点启动的DFS访问：i == 1。
int[] flags = new int[numCourses];
//prerequisites = {{1,0}, {3, 0}, {2, 1},{3, 2}};
for(int[] cp : prerequisites){
//根据prerequisites，初始化矩阵
adjacency[cp[1]][cp[0]] = 1;
}
//对 numCourses 个节点依次执行 DFS
for(int i = 0; i < numCourses; i++){
if(!dfs(adjacency, flags, i)) return false;
}
//若整个图 DFS 结束并未发现环，返回 TrueTrue
return true;
}
private static boolean dfs(int[][] adjacency, int[] flags, int i) {
//终止条件:
// 当 flag[i] == 1，说明在本轮 DFS 搜索中节点 i 被第 2 次访问，即 课程安排图有环，直接返回 False。
if(flags[i] == 1) return false;
// 当 flag[i] == -1，说明当前访问节点已被其他节点启动的 DFS 访问，无需再重复搜索，直接返回 True。
if(flags[i] == -1) return true;
// 将当前访问节点 i 对应 flag[i] 置 1，即标记其被本轮 DFS 访问过；
flags[i] = 1;
for(int j = 0; j < adjacency.length; j++) {
//递归访问当前节点 i 的所有邻接节点 j，当发现环直接返回 False；
if(adjacency[i][j] == 1 && !dfs(adjacency, flags, j)) {
return false;
}
}
//当前节点所有邻接节点已被遍历，并没有发现环，则将当前节点 flag 置为 -1−1 并返回 True
flags[i] = -1;
return true;
}
public static void main(String[] args) {
int[][] a = {{1,0}, {3, 0}, {2, 1},{3, 2}};
boolean b = canFinish(4, a);
System.out.println(b);
}
}
另：上述代码中二维数组a，表示的图应该是
