IMMC2020：熵权TOPSIS
笔记整理来自清风老师的数学建模课程：TOPSIS教程
1. 层次分析法的局限性（主观求权重方法）
层次分析法真正的核心是判断矩阵的填写，但是判断矩阵受人为因素比较大，所以最后计算得出的权重也比较主观。如果在有数据的情况下最好不要使用层次分析法。
（1）评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致性差异可能会很大。（可能会通过不了一致性检验）
（2）如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得评价更加准确呢？
可以分析数据内在的特征就行评价。（熵权法、TOPSIS法）
2. TOPSIS法引入
2.1 一个指标的情况
小明同宿舍共有四名同学，他们第一学期的高数成绩如下表所示：
请你为这四名同学进行评分，该评分能合理的描述其高数成绩的高低。
（注：这里要求的评分可以类比于上一讲层次分析法中要求的那个权重）
修正后的排名表示数字越大越好，评分用排名的得分/总得分
可以随便修改成绩，只要保证排名不变，那么评分就不会改变！
【矛盾】评分没变说明结果有问题，说明这种评分方式不能够全部反应原始数据的全部信息。
想法1：把数都减去一个最小值。结果通过与（max-min）相处，将数字变为【0,1】之间的数。
将数归一化：
需要说明的问题：如果用下面这种方法，虽然结果更加精确，能够反应更多的原始信息；比如60分时，我们得到的结果是0.6，而不是0。但是需要知道理论的最大值和最小值。
但是大多数情况下，我们是无法知道理论的最大值与最小值的，只能得到1组数据中的最大值与最小值，所以常用的评分方法是上一种。
为什么不用上面表格这个理论最大值最小值的公式：
2.2 2个指标的情况
新增加了一个指标，现在要综合评价四位同学，并为他们进行评分。
成绩是越高（大）越好，这样的指标称为极大型指标（效益型指标）。
与他人争吵的次数越少（越小）越好，这样的指标称为极小型指标（成本型指标）。
在进行分析的时候我们需要将指标统一为一个类型，一般都转为极大型指标。
2.2.1 指标正向化
将所有的指标转化为极大型称为指标正向化（最常用）
可以在excel中进行计算。比如折扣需要正向化处理。
2.2.2 指标标准化处理
只有一个指标的时候不需要消除量纲的影响，但是2个指标及以上呢？
由于成绩和争吵次数的量纲不同（单位不同），所以需要消除指标对不同量纲的影响。
为了消去不同指标量纲的影响，需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理。
可以发现标准化后不会影响到指标的相对大小。
matlab代码：B = repmat(A,m,n):将矩阵A复制m×n块，即把A作为B的元素，B由m×n个A平铺而成。
X = [89 1; 60 3; 74 2; 99 0]
[n,m] = size(X)
X./repmat(sum(X.*X).^0.5,n,1)代码分解：
X.*X得到
sum(X.*X)得到
sum(X.*X).^0.5 得到
由于矩阵（点除）除法的运算需要行列一致。
repmat(sum(X.*X).^0.5,n,1)
X./repmat(sum(X.*X).^0.5,n,1) 得到
所以：
2.2.3 计算得分
计算多个指标的得分时，可以类别只有一个指标时的得分。
先求出每一列的最大值最小值，再求每个元素与最大值（最小值）的距离（欧式距离）。最后求得分即可。（和只有一个指标时的解法一样）
2.2.4 实例计算
3. TOPSIS简介
C.L.Hwang 和 K.Yoon 于1981年首次提出 TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)，可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。
TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。
基本过程为：（1）将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理）得到正向化的矩阵；
（2）再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响；
（3）并找到有限方案中的最优方案和最劣方案；
（4）然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离；
（5）获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。
该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。
4. TOPSIS法步骤（后面更新....）
