TOPSIS法（熵权法）（模型+MATLAB代码）

TOPSIS可翻译为逼近理想解排序法，国内简称为优劣解距离法

TOPSIS法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的距离

一、模型介绍

极大型指标（效益型指标） ：越高（大）越好

极小型指标（成本型指标） ：越少（小）越好

中间型指标：越接近某个值越好

区间型指标：落在某个区间最好

构造计算评分的公式：（x-min）/（max-min）【只有一个指标】

第一步：将原始矩阵正向化

统一指标类型：将所有指标转化为极大型称为指标正向化（最常用可加到论文中）

极小型指标转化为极大型指标的公式：max-x

function [posit_x] = Min2Max(x)
posit_x = max(x) - x;
%posit_x = 1 ./ x; %如果x全部都大于0，也可以这样正向化
end

中间型指标转化为极大型指标：

function [posit_x] = Mid2Max(x,best)
M = max(abs(x-best));
posit_x = 1 - abs(x-best) / M;
end

区间型指标转化为极大型指标：

function [posit_x] = Inter2Max(x,a,b)
r_x = size(x,1); % row of x
M = max([a-min(x),max(x)-b]);
posit_x = zeros(r_x,1); %zeros函数用法: zeros(3) zeros(3,1) ones(3)
% 初始化posit_x全为0 初始化的目的是节省处理时间
for i = 1: r_x
if x(i) < a posit_x(i) = 1-(a-x(i))/M; elseif x(i) > b
posit_x(i) = 1-(x(i)-b)/M;
else
posit_x(i) = 1;
end
end
end

第一步代码：

[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标'])
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0： ']);

if Judge == 1
Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]
disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]： '); %[2,1,3]
% 注意，Position和Type是两个同维度的行向量
for i = 1 : size(Position,2) %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数
X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
% Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数
% 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i)) 回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素
% 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
% 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
% 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
end
disp('正向化后的矩阵 X = ')
disp(X)
end

第二步：正向化矩阵标准化

标准化处理：为了消去不同指标量纲的影响，需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理

第二步代码：

Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)

第三步：计算得分并归一化

多个指标：z与最小值的矩阵/z与最大值的距离+z与最小值的距离

第三步代码：

D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5; % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5; % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N); % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')

带权重的TOPSIS：使用层次分析法给这m个评价指标确定权重

当然：层次分析法的主观性太强了，更推荐大家使用熵权法来进行客观赋值

熵权法是一种客观赋权方法

依据的原理：指标的变异程度（可以理解为方差）越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。（客观=数据本身就可以告诉我们权重）

如何度量信息量的大小：

越有可能发生的事情，信息量越小，越不可能发生的事情，信息量就越多。用概率在衡量（用对数函数来拟合）

信息熵（本质：对信息量的期望值）：

信息熵越大对应的信息量越小

熵权法的计算步骤：

（1）判断输入的矩阵中是否存在负数，如果有则要重新标准化到非负区间

（2）计算第j项指标下第i个样本所占的比重，并将其看作相对熵计算中用到的概率

（3）计算每个指标的信息熵，并计算信息效用值，并归一化得到每个指标的熵权

信息效用值的定义：dj=1-ej 信息效用值越大，其对应的信息就越多

将信息效用值进行归一化，就可以得到每个指标的熵权：