MATLAB牛顿法改进之弦截法

MATLAB牛顿法改进之弦截法

一、算法原理

弦截法是牛顿法的改进，我们从牛顿法开始复习并讲解它的原理。

1、牛顿法就是将f(x)在点xk处泰勒展开为进而得到迭代公式，

；

由上式可知，如果如果我们选择x0作为初始点，点（x0，f（x0））的切线方程为y-f(x0)=f’(x0)(x-x0),

该切线方程与x轴交点的横坐标为X（1）=X(0)- f (X(0))/f’(X(0))，
然后以x1为初始点，继续循环上述过程。在该过程中，不断的对f(x)做切线，因此牛顿迭代法也叫切线法。

但是牛顿法的收敛性依赖初始点x0的选取。

2、牛顿下山法就是在牛顿法的基础上增加了下山因子，其运算过程与牛顿法类似，只是增加了需要改变下山因子的部分。

它改进了牛顿法对初值的依赖性，当所选初值不合适时（不满足单调性|f(x(k+1))|<|f(x(k))|），可以通过缩小下山因子，减小下一个点x(k+1)与x(k)的距离（缩小步长），若不合适则继续缩小。

3、牛顿迭代法每迭代一次除计算函数值f(xk) 外，都需计算导数值 f'(xk) ，计算量比较大；且迭代过程中计算x(k+1)时，仅利用了xk 点的信息，而没有充分利用已经求出的x(k-1),x(k-2)...；在导数计算比较麻烦或难以求出时，一个自然的想法就是在充分利用“旧信息”的同时，设法避开导数值的计算，弦截法就应运而生了。

(1) 构造思想：用割线的斜率代替牛顿迭代法中切线的斜率；

(2)   构造方法：将Newton迭代格式中的导数用差商代替。

切线斜率≈割线斜率，

即每次取两个初值点，将初值点构成的直线的斜率代替牛顿法中切线的斜率f'(xk)。

二、matlab程序

clc
clear
h=@(x) x^3+x^2-1;
[x,tol]=xianjie(h,[1,2],1000)
function [result,tol]=xianjie(f,x,n) %f为函数句柄，x为初始弦截点，n为迭代次数
if nargout == 1  %判断输出参数的个数
    flag=1;
elseif nargout == 2
    flag=2;
end
x1=x(1);
x2=x(2);
i=1;
while i < n  %设置迭代次数上限值避免无解时陷入死循环
    x3=x2-f(x2)*(x2-x1)/(f(x2)-f(x1)); %迭代公式
    if abs(f(x3)) < 1e-8  %如果精度满足要求
        if flag==1  %1个输出参数
            result=x3; %输出解x
            return;
        elseif flag==2 %2个输出参数
            result=x3;     %同时输出x解x
            tol=abs(f(x3));
            return;
        end
    end
    x1=x2;
    x2=x3;
    i=i+1;
end