MATLAB牛顿迭代法

MATLAB牛顿迭代法

• 牛顿迭代法（用于搜索零点）：
  
  通过函数 $\ f(x) =0$的泰勒级数展开
  $\ f(x) =f(x_0) +\frac {f'(x_0)} {1!}(x-x_0)+\frac {f''(x_0)} {2!}(x-x_0)^2+...+\frac {f^{(n)}(x_0)} {n!}(x-x_0)^n$
  取级数展开式的常数项和一次项： $\ f(x_0) +f'(x_0)(x-x_0)=0$
  得到迭代函数： $\ x=x_0 -\frac {f(x_0)} {f'(x_0)}$

这里是一个一元函数的简单代码：

%牛顿迭代法
function [x,n,Xn,Yn] = newiteration(fun,dfun,x0,EPS)
% fun为目标函数，dfun为目标函数的一阶导数，x0为起始点，EPS为精度
a=feval(fun,x0);
b=a+1;
n=0;
%建立画图的点
Xn = zeros(5,1);
Yn = zeros(5,1);
while(abs(a-b) >= EPS) 
        a = feval(fun,x0) ;
        df = feval(dfun,x0);
        Xn(n+1,1) = x0;
        Yn(n+1,1) = a;
        if (feval(dfun,x0) == 0)
            break
        else
            x0 = x0 - a/df;
        end
        b = feval(fun,x0);  
        n = n + 1;
end
x = x0;

调用函数：

%% 调用函数
clear all
clc
% syms x
fun=inline('x^2 - 9','x');
dfun = inline('2*x','x');
Xn = zeros(5,1);
Yn = zeros(5,1);
x0 = 1;
EPS = 0.001;
[x,n,Xn,Yn] = newiteration(fun,dfun,x0,EPS)
figure 
plot(Xn,Yn,'k-','color','red')
hold on
x = 0:0.1:7;
y = x.^2 - 9;
y2 = zeros(1,71); 
plot(x,y,'color','b')
plot(x,y2,'color','black')

运行结果：

x =3.000000001396984
n =5

迭代过程：

如果需要减少计算，可以通过将 $\ f'(x_0)$设置为定值，收敛速度会减慢。