1265 四点共面（几何问题）

1265 四点共面

题目链接：http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1265

给出三维空间上的四个点（点与点的位置均不相同），判断这4个点是否在同一个平面内（4点共线也算共面）。如果共面，输出"Yes"，否则输出"No"。

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输入

第1行：一个数T，表示输入的测试数量(1 <= T <= 1000)
第2 - 4T + 1行：每行4行表示一组数据，每行3个数，x, y, z, 表示该点的位置坐标(-1000 <= x, y, z <= 1000)。

输出

输出共T行，如果共面输出"Yes"，否则输出"No"。

输入样例

1
1 2 0
2 3 0
4 0 0
0 0 0

输出样例

Yes

该题典型的高中知识，利用法向量判断是否共面。一个平面最少由三个点（a,b,c）组成，然后两个不同点就可以得到一个向量，两个向量（如 ac,ab 向量）可求法向量(n1)。这里法向量的求法为 向量积，不懂向量积的自行百度，向量积也称为外积，叉乘。几何意义就是垂直ac，ab的一个法向量。然后加进来一点d，题意也就是问d点在不在abc平面上！ 然后我们看看  d点与任意两点比如说（d a b）构成的平面是不是与（abc）是同一个，比较法向量便知！代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
//求向量积的函数 
int P(int a[],int b[],int c[])
{
	c[0]=a[1]*b[2]-b[1]*a[2];
	c[1]=b[0]*a[2]-b[2]*a[0];
	c[2]=a[0]*b[1]-b[0]*a[1];
	//printf("\n%d-%d-%d\n",c[0],c[1],c[2]);
}

int main()
{
	int T;
	cin>>T;
	int a[3],b[3],c[3],d[3],ac[3],ab[3],ad[3];
	//两个法向量 
	int n1[3],n2[3];
	while(T--)
	{
		for(int i=0;i<3;i++)
			cin>>a[i];
		for(int i=0;i<3;i++)
			cin>>b[i];
		for(int i=0;i<3;i++)
			cin>>c[i];
		for(int i=0;i<3;i++)
			cin>>d[i];
			
		//求ac,ab向量	
		for(int i=0;i<3;i++)
		{
			ac[i]=c[i]-a[i];
			ab[i]=b[i]-a[i];
			ad[i]=d[i]-a[i];
		}
//		求法向量 
		P(ac,ab,n1);
		P(ad,ab,n2);
//		下面是判断两个法向量是不是平行关系 ，是不是倍数关系 
//		先找到不为0的一个数，然后除以它就是倍数关系 
		int j;
		for(j=0;j<3;j++)
		{
			if(n1[j]!=0)
			break;
		}
//		倍数temp 
		double temp=(double)n2[j] / (double)n1[j];
		int flag=0;
		for(int i=0;i<3;i++)
		{
			//因为两个相等的浮点数相减不一定为0 
			if(fabs((double)n2[i]-(double)(n1[i]*temp))>pow(10,-4))
			flag=1;
		}
		
		if(flag==0)
		cout<<"YES"<<endl;
		else
		cout<<"NO"<<endl;
			
	}
	return 0;
}