人工知能数学の基礎-線形代数3：線形空間、線形相関および基底

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1.ベクトル空間（線形空間）とベースドメイン

線形空間は、多数の数学的対象（幾何学および物理学のベクトル、n要素ベクトル、行列、代数の多項式、分析の関数など）の本質的な特性を調査した後に抽象化された数学的概念です。

1.1。詳細な定義

ベクトル空間は線形空間とも呼ばれます。Vを空でない集合、Pを数体とします。場合：

演算はVで定義され、加算と呼ばれます。つまり、Vの任意の2つの要素αとβは、αとβの合計と呼ばれる特定の規則に従ってVの一意に決定された要素α+βに対応します。
演算は、スカラー倍算（量的乗算とも呼ばれます）と呼ばれるPとVの要素間で定義されます。つまり、一意に対応する特定の規則に従って、Vの任意の要素αとPの任意の要素kに対して定義されます。Vで決定される要素kαはkとαの積と呼ばれます。
加算とスカラー倍算は、次の条件を満たす：
1）、α+β=β+α、任意のα、β∈V。2
）、α+（β+γ）=（α+β）+γ、任意のα 、β、γ∈Vは。
3）、要素0∈V、そこα+ 0 =αである、要素が全てα∈VにV 0と呼ぶゼロ要素。
4）、任意α∈V用、そこでβ∈Vはα+β= 0になり、βはαの負の要素と呼ばれ、-αで表されます
。5）、Pの単位要素1の場合、1α=α（α∈V）
。6）、任意のk、l∈P、α∈Vは（kl）α= k（lα）
7）、任意のk、l∈P、α∈Vは（k + l）α=kα+lα。8
）、任意のk∈P、α、β∈Vは、K（α+β）=kα +kβを持ち
、P線形空間またはベクトル空間のVドメインと呼ばれます。Vの要素はベクトルと呼ばれ、Vのゼロ要素はゼロベクトルと呼ばれ、Pは線形空間のベースフィールドと呼ばれます。Pが実数領域の場合、Vは実数線形空間と呼ばれ、Pが複素数領域の場合、Vは複素線形空間と呼ばれます。

1.2、公理的定義

Fを定義域とします。Fのベクトル空間は、集合Vに対する2つの演算です。

ベクトル加算：V + V→V、v + w、v、w∈Vで表される
スカラー倍算：F×V→V、a・v、a∈F、v∈Vで表される
次の公理（∀a、b∈Fおよびu、v、w∈V）を満たします。

ベクトル加算の結合法則：u +（v + w）=（u + v）+ w;
ベクトル加算の可換法則：v + w = w + v;
ベクトル加算の単位元：Vには、ゼロベクトルと呼ばれるゼロがあります。∀v∈V、v + 0 = v;
ベクトル加算の逆元：∀v∈V、∃w∈V、v + w = 0;
スカラー倍算はベクトル加算に割り当てられます：a（v + w）= av + aw;
スカラー倍算はフィールド加算に割り当てられます：（a + b）v = av + bv;
スカラー倍算は、スカラー領域の乗算と一致しています。a（bv）=（ab）v;
スカラー倍算には単位元があります：1 v = v、ここで1は定義域Fの乗算単位元を指します。
Vはベクトル加算の下で閉じられます：v +w∈V
Vはスカラー倍算で閉じられます：av∈V

一部の教科書では、次の2つの公理も強調されています
。Vはベクトル加算で閉じられます：v +w∈VV
はスカラー倍算で閉じられます：av∈V

Vのメンバーはベクトルと呼ばれ、Fのメンバーはスカラーと呼ばれます。Fが実数体Rの場合、Vは実数ベクトル空間と呼ばれます。Fが複素数体Cの場合、Vは複素ベクトル空間と呼ばれます。Fが有限体の場合、Vは有限場ベクトル空間と呼ばれます。一般体Fの場合、VはFベクトル空間と呼ばれます。

ベクトル空間の例

Vが数値フィールドP上のすべてのm×n行列で構成される集合Mmn§である場合、Vの加算とスカラー倍算はそれぞれ行列の加算と数値と行列の乗算であり、Mmn§は上の線形空間です。数値フィールドP、ここでVベクトルはm×n行列です。
ドメインP上のすべてのn要素ベクトル（a1、a2、...、an）で構成される集合Pは、加算用です：（a1、a2、...、an）+（b1、b2、...、 bn）=（a1 + b1、a2 + b2、...、an + bn）およびスカラー倍算：λ（a1、a2、...、an）=（λa1、λa2、...、λan）ドメインP上の線形空間。ドメインP上のn要素ベクトル空間と呼ばれます。

2つ、線形相関と線形独立

2.1、線形表現

a1、a2、...、sのn次元ベクトル、k1、...、ksがsの数であるとすると、
k1a1 + k2a2 + ... + ksa
はそれをa1、a2の線形結合と呼びます。、...、as 、if：
a = k1a1 + k2a2 + ... + ksas
then aは、 a1、a2、...、asの線形結合、またはa1、a2、...、の線形表現でもあります。として。

2.2、線形相関、線形独立

線形空間では、ベクトルa1、a2、...のセット（s> = 1）
k1*a1+k2*a2+......+ks*as = 0
が次の式から導出できる場合：k1 = k2 = ... = ks = 0、このセットは次のようになります。ベクトルは線形独立です。

逆に、線形空間にある場合、k1 0、k2、...、ks（s > = 1）の不完全なセットがある場合、次の方程式が成り立つように、ベクトルa1、a2、...のセットがあります。
k1*a1+k2*a2+......+ks*as = 0
このグループと呼ばれるベクトルは線形に関連しています。

https://www.zhihu.com/question/21605094

2.3、線形部分空間

Wをベクトル空間Vの空でない部分集合とします。WがVとスカラー倍算の加算の下で閉じられ、ゼロベクトル0∈Wである場合、WはVの線形部分空間と呼ばれます。
ベクトル集合Bが与えられると、それを含む最小の部分空間はその展開と呼ばれ、span（B）として示されます。さらに、空集合の展開は{0}として指定できます
ベクトル集合Bが与えられ、その展開がベクトル空間Vである場合、BはVの生成集合です。
ベクトルBのセットが与えられ、Bが線形独立である場合、VとBを生成でき、それはV-Bグループと呼ばれます。V = {0}の場合、唯一の基準は空のセットです。ゼロ以外のベクトル空間Vの場合、基底はVの最小生成集合です。

3つの非常に線形な独立グループ

3.1はじめに

最大の線形独立したシステムは、線形空間内のベクトルの数が最も多い線形独立ベクトル群です。

Vを定義域P上の線形空間とし、SをVの部分集合とします。Sがベクトルの線形独立部分であるが、ベクトルのこの部分で、Sのいずれかのベクトルが線形従属である場合、それはSベクトルと呼ばれ、大きく線形独立なグループです。

Vのサブセットの最大の線形独立グループは一意ではありません。たとえば、Vの基底は、Vのすべての最大の線形独立グループです。それらには同じ数のベクトル（ベース）が含まれています。ベクトルに含まれるグループ（ベース）の数に関係なく、最大線形サブセットV Sは、Sランクと呼ばれます。ゼロベクトルのみを含むサブセットのランクはゼロです。

Vのサブセットは、その最大線形独立グループと同等です。特に、SがVに等しく、Vが有限次元の線形空間である場合、SのランクはVの次元です。

3.2。定義

ベクトルグループA：a1、a2、...を設定します。aからr個のベクトルを選択できる場合は、次の条件を満たす必要があります。
（1）ベクトルグループA0：a1、a2、...、arは線形独立です。
（2）InベクトルグループA任意のr + 1ベクトル（存在する場合）は線形独立であり、ベクトルグループA0は、ベクトルグループAの最大線形独立グループ（最大独立グループと呼ばれます）と呼ばれます。

線形方程式系の係数行列の最大線形独立群は、線形方程式系の基本解系と呼ばれます。

第四に、線形空間の基礎

前のセクション2.2では、ベースの概念を簡単に紹介しましたが、ベースの重要性から、このセクションではベースの詳細な紹介を行います。

4.1はじめに

線形代数では、基底（基底とも呼ばれます）と線形空間の基底は、ベクトル空間を記述および特性化するための基本的なツールです。

ベクトル空間の基底はその特別なサブセットであり、基底の要素は基底ベクトルと呼ばれます。ベクトル空間内の任意の要素は、基底ベクトルの線形結合として一意に表すことができます。ベース内の要素数が制限されている場合、ベクトル空間は有限次元ベクトル空間と呼ばれ、ベース内の要素数はベクトル空間の次元と呼ばれます。

すべてのスペースに有限数の要素で構成されるベースがあるわけではありません。このような空間は無限次元空間と呼ばれます。一部の無限次元空間は、無限要素で構成される基底を定義できます。

任意のベクトル空間には一連の基底があります。ベクトル空間には複数の基底のセットがありますが、同じ空間の2つの異なる基底の要素の数またはポテンシャル（要素の数が無限大の場合）は同じです。

基底のセット内のベクトルの任意の部分は線形独立です。逆に、ベクトル空間に塩基のセットがある場合、ベクトル空間内の線形独立なベクトルのセットを取得すると、確実に基底のセットに拡張されます。

4.2。定義

ベクトル空間Vが与えられると、Vの基底Bのセットは、Vから線形生成できるVの線形独立サブセットを参照します。Bの要素は基底ベクトルと呼ばれます。

より詳細には、B = {e1、e2、...、en}を係数領域F（実数領域Rや複素数領域Cなど）のベクトル空間Vの有限部分集合とします。以下の条件が満たされる場合：
ここに画像の説明を挿入
前記ベクトル空間VBはベースのセットです。2番目の条件でλ1*e1+λ2*e2+...+λn*enは、ベクトルv∈Vを表現する形式は、基底の下でのベクトルvの分解と呼ばれます。B成分の底にあるベクトルvと呼ばれる（λ1、λ2、...、λn ）が表されます。

有限基底のみのベクトル空間は、有限次元空間と呼ばれます。無限の次元空間を処理するには、上記の基底の定義を拡張して、無限の基底のセットを含める必要があります。ベクトル空間Vのサブセット（有限または無限）Bが次の条件を満たす場合：
そのすべての有限サブセットB'⊂Bは上記の最初の条件（つまり、線形独立）を満たします。
任意のv∈Vに対して、（λ1、λ2）を選択できます。、...、λn）∈Fn 、およびe1、e2、...、en∈B、次のようになります
v = λ1*e1+λ2*e2+...+λn*en。
Bは無限次元空間Vの基底の集合であると言われています。

4.3、説明

Bをベクトル空間Vのサブセットとすると、次の条件のいずれかが満たされた場合にのみ、Bが基底になります。

VはBの最小生成セットです。つまり、BのみがVを生成でき、その適切なサブセットはベクトル空間全体を生成できません。
BはVの線形独立ベクトルの最大セットです。つまり、BはVの線形独立セットであり、Vの他の線形独立セットには適切なサブセットとして含まれていません。
Vのすべてのベクトルは、Bのベクトルの線形結合として独自の方法で表すことができます。基底が順序付けられている場合、この線形結合の係数は、この基底に関するこのベクトルの座標を提供します

さらに、基底空間とベクトル空間に関して次の規則があります。

ベクトル空間の全ての塩基が呼び出され、同じ電位（要素の数）を有するの次元ベクトル空間をこの結果が呼び出され次元定理
任意のベクトル空間には基底のセットがあり、任意の基底のセットはベクトル空間に対応します
ベクトル空間に塩基のセットがある場合、線形独立の各サブセットを塩基のセットに展開でき（基底の拡張定理とも呼ばれます）、空間全体を生成できる各サブセットにも塩基のセットが含まれている必要があります。特に、線形独立集合と生成集合の間には一連の基底があります。数学言語で：Lがベクトル空間で線形独立な集合であり、集合GがLを含み、Vを生成できる集合である場合、Lを含み、Gエピソードの子であるVの基底Bの集合があります。：L⊆B⊆G
n次元の線形空間では、n個の線形独立ベクトルで構成されるベクトルグループが空間の基礎になります。
関連する証明はより多くの知識を使用する必要があります、古い類人猿はそれ以上の研究をしていません、ただ覚えておいてください。

4.4。例

すべての座標（a、b）のベクトル空間Rを考えます。ここで、aとbは実数です。非常に自然で単純な基礎は、ベクトルe1 =（1,0）およびe2 =（0,1）です。v=（a、b）がRのベクトルであると仮定すると、v = a（1,0）+ b （0,1）。また、（1,1）や（-1,2）などの線形独立ベクトルもRの基底を形成します。
n個の自然数とn個の線形独立ベクトルe1、e2、…、en、e1、e2、…、enが与えられると、Rは実数体で生成できます。したがって、それらは基数でもあり、Rの次元はnです。この基数はRの標準基数と呼ばれます。

4.5。順序付けられた基底と座標

基底は、要素が順番に配置されていないベクトル空間のサブセットとして定義されます。関連する議論を容易にするために、基底ベクトルは通常配置されます。たとえば、次のように記述します：B = {e1、e2、...、en}を順序付けられたベクトルグループとして：（e1、e2、...、en）。このような順序付けられたベクトルのグループは、順序付けされた基底と呼ばれます。有限次元のベクトル空間と可算次元のベクトル空間の両方で、基底は自然に順序付けられた基底として表現できます。順序付けされた基底の下では、任意のベクトルは、ベクトルの座標と呼ばれる特定の配列で表すことができます。たとえば、ベクトルの座標表現を使用する場合、「最初の」または「2番目の」座標について話すのが通例です。これは、基底の順序が指定されている場合にのみ意味があります。この意味で、順序付けられた基底はベクトル空間の座標フレームと見なすことができます。

定義：線形空間Vn（F）で、{α1、α2、...、αn}を基底のセット、βはVの要素、{α1、α2、...、αn、β}は線形に関連しているので、βそれはα1、α2、...、αnによって一意に線形に表すことができるので、次のようになります。
ここに画像の説明を挿入
数値x1、x2、...、xnはベース{α1、α2のβの座標です。、...、αn}。

その他の参考資料については、BaiduLibraryのbaseの紹介を参照してください。

V.まとめ

この記事では、線形空間の概念を紹介します。線形空間はベクトル空間とも呼ばれます。各線形空間には、対応するベースフィールドとゼロ要素があり、対応するベクトル加算とスカラー乗算をサポートします。線形空間内のベクトルのグループは、グループ内で閉じられるベクトル加算とスカラー倍算を満たし、グループにゼロベクトルが含まれると、線形部分空間が形成されます。

線形空間内の複数のベクトルによって形成されるベクトルのセットは、線形に関連しているか、線形に独立しています。ベクトル空間内の最大線形独立グループはベクトル空間の基底であり、最大線形独立グループに含まれるベクトルの数は対応するベクトル空間の次元です。

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