線形空間、部分空間、基底、基底座標、遷移行列

線形空間の定義

加算と乗算の閉包を満たします。つまり、この空間内のすべてのベクトルは、定数で乗算されるか、他のベクトルに加算された後も、この空間内に残ります。さらに、この空間内のすべてのベクトルが加算と乗算の結合閉包を満たすことも理解できます。つまり、V が線形空間の場合、まず次を満たさなければなりません。

注: 線形空間内の要素はベクトルと呼ばれます

線形空間の証明

V が数体 P 上の線形空間 (V(P) で表される) であることを証明するには、V がベクトル加算および乗算演算に閉じられていて、8 つの特性を満たすことを検証する必要があります。
V が数体 P 上の線形空間ではないことを説明するには、V がベクトルの加算または乗算のいずれかの演算に近づかない、またはその演算が 8 つの条件のいずれかを満たさないことを説明するだけで済みます。

例：

証明: 定理 1.1 線形空間V に はゼロ要素が 1 つだけあり、どの要素にも負の要素が 1 つだけあります
注: ゼロ要素は必ずしもすべて 0 であるとは限りません。

共通の線形空間

たとえば $R^{^{2}}$ 、それは線形空間であり、グラフィック表現は平面デカルト座標系です。任意のベクトルを取得し $\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$ 、 $\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$ 線形結合を実行します。 $k_{1}$ $\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$ + $k_{2}$ $\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} k_{1}\\ k_{2} \end{bmatrix}$ $\displaystyle \epsilon R^{^{2}}$

{ 0 } (ベクトル0 ) も線形空間であり、最も単純な線形空間です。0 が足し算、掛け算、八乗則の閉包を満たすことは簡単に検証できます。線形空間を 2 つ列挙するのは簡単ですが、すべてではありませんすべての空間は直線的です。

非線形空間

線形部分空間

定義: を数フィールドK $V_{1}$ 上の線形空間 V の空でない部分集合とし、既存の線形演算を満たします: (1) If , then 。(2) の場合、。注: (1) と (2) は加算と乗算の閉じた原理を表します。は線形部分空間または V の部分空間と呼ばれます。( が空集合を表す)場合、それは自明な部分空間と呼ばれ、そうでない場合、それは非自明な部分空間と呼ばれます。
$x,y\epsilon V_{1}$ $(x+y) \epsilon V_{1}$
$x \epsilon V_{1},k \epsilon K$ $kx \epsilon V_{1}$

$V_{1}$
$V_{1}=V または \phi$ $\ファイ$ $V_{1}$