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1つ、ベクトル
1.1、ベクトル定義
ベクトルは、ユークリッドベクトル、幾何学的ベクトル、およびベクトルとも呼ばれ、大きさと方向のある量を指します。矢印の付いた線分として視覚化できます。矢印の点：ベクトルの方向を表し、線の長さ：ベクトルのサイズを表します。ベクトルに対応する量は量（物理学ではスカラー量と呼ばれます）と呼ばれ、量（またはスカラー量）には大きさだけがあり、方向はありません。
- 物理学と工学では、幾何学的ベクトルはより頻繁にベクトルと呼ばれます。
- 一般的に、印刷が太字小文字の英文字（で表され、B、C、など）、および手書きは、A、B、C、などのように文字に（→）矢印を追加することによって表され、例えば：
大文字AB、CDも追加できます矢印（→）など。ただし、inputメソッドはサポートしていないため、この記事の後ろにあるベクトル表現では、ベクトルa、b、cを直接呼び出すなど、矢印が失われることはありません。
定義：
n個の連番a1、a2、...、anで構成される配列：
a =（a1、a2、...、an）
はn次元ベクトルと呼ばれ、a1、a2、...、anはaのコンポーネントと呼ばれ、aiはのi番目のコンポーネントと呼ばれます。すべてゼロ成分を持つベクトルは、ゼロベクトルと呼ばれます。
2つのベクトルは、コンポーネントの数が同じで、すべてのコンポーネントが等しい場合にのみ等しくなります。
1.2、ベクトルのノルムとノルム
ベクターの弾性率は、ベクトルの長さであり、ベクトルの大きさシンボルベクトルの両側の縦線を追加することで、例えば、ベクトルABは、次のように記録されている：
の便宜のために入力すると、古い猿はとして記録され|向量AB|ます。
2次元平面ベクトル（x、y）の場合、モジュラス長は原点から点までの距離であり、サイズは次のとおり
です。3次元空間ベクトル（x、y、z）の場合、モジュラス長は次のようになります。 ：
n次元空間ベクトルx（V1、V2、...、Vn）の場合、そのモジュラス長は次のようになります。
モジュラスは、2次元および3次元空間での絶対値の一般化であり、ベクトルの長さと見なすことができます。高次元空間への一般化はノルムと呼ばれます。
Normは「長さ」を概念とした関数です。線形代数、関数解析、および関連する数学の分野では、ノルムは、ベクトル空間内のすべてのベクトルにゼロ以外の正の長さまたはサイズが与えられる関数です。
1.3。ベクトル属性と自由ベクトル
- ベクトルは方向とサイズを指定し、多くの場合、有向線分で表されます。有向線分の長さはベクトルのサイズを表し、矢印が指す方向はベクトルの方向を表します。
- 同じ長さと同じ方向のベクトルは等しいベクトルと呼ばれ、ベクトルaとbは等しく、a = bで表されます。ゼロベクトルはゼロベクトルと同じです。
- 有向線分を使用してベクトルを表す場合、開始点を任意に選択できます。2つの等しい非ゼロベクトルは、同じ有向線分で表すことができ、有向線分の開始点とは関係ありません。同じ方向で同じ長さの有向線分はすべて同じベクトルを表します。
- ベクトルのサイズと方向が変わらない限り、その始点と終点は自由に平行に移動できます。これはフリーベクトルと呼ばれます。自由ベクトルは空間内の任意の点に変換できるため、ベクトルの大きさと方向がわかっている場合は、ベクトルが与えられます。たとえば、運動中の物体の速度と加速度は自由ベクトルです。数学では、自由ベクトルは単にベクトルと呼ばれます。数学では自由ベクトルのみが研究されています。
- 方向を比較できないため、ベクトルを比較できません。ベクトルの場合、「より大きい」および「より小さい」の概念は無意味です。
1.4、単位ベクトル
長さが1単位（つまり、モジュラスが1）のベクトルは、単位ベクトルと呼ばれます。aと同じ方向で、単位1の長さのベクトルは、a方向の単位ベクトルと呼ばれます。ゼロ以外のベクトルをその係数で除算して、目的の単位ベクトルを取得します。参照：
方程式の右辺の意味については、次のセクションのベクトル内積の紹介を参照してください： " https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/112411742 Artificial Intelligence Mathematical Foundation-Linear Algebra 2：ベクトル内積、内積、量積、および外積。」
1.5、負のベクトル
ベクトルABとベクトルCDのモジュラスが等しく、方向が反対である場合、ベクトルABをベクトルCDの負のベクトルと呼びます。これは、反対のベクトルとも呼ばれます。
1.6、ゼロベクトル
長さが0のベクトルはゼロベクトルと呼ばれ、0として記録されます。ゼロベクトルの始点と終点が一致するため、ゼロベクトルに明確な方向がないか、ゼロベクトルの方向が任意です。
規則：すべてのゼロベクトルは等しい。
1.7、固定ベクトル
固定ベクトルは、接着剤ベクトルとも呼ばれます。数学的には、方向とサイズ、および開始点を決定するベクトルを指します。力学における力は固定ベクトルです。数学は固定ベクトルを研究せず、自由ベクトルのみを研究します。
1.8、スライディングベクトル
大きさと方向があり、特定の線に沿って作用する必要があるベクトルは、スライディングベクトルと呼ばれます。
スライドベクトルの開始点は空間内の固定線上にあり、固定ベクトルの開始位置は固定されていますが、自由ベクトルの開始位置は固定されていません。
1.9。位置ベクトル
座標平面（原点O）内の任意の点Pについて、ベクトルOPを点Pの位置ベクトルと呼び、ベクトルPで表されます。
1.10、方向ベクトル
方向ベクトルは数学的な概念であり、空間内の直線の方向は、直線に平行なゼロ以外のベクトルで表されます。このベクトルは、直線の方向ベクトルと呼ばれます。
1.11、平行ベクトル、共線ベクトル
同じ方向または反対方向の非ゼロベクトルは、平行（または同一線上）ベクトルと呼ばれます。ベクトルaとbは平行（同一線上）であり、a∥bとして示されます。ゼロベクトルの長さはゼロです。これは、始点と終点が一致するベクトルであり、その方向は不確かです。ゼロベクトルは任意のベクトルに平行であると規定します。同じ直線に平行なベクトルのグループは、同一線上のベクトルです。
1.122つのベクトルは同一線上にあります
2つの平行なベクトルaとbは、それらに平行な同じ直線に変換できるため、2つのベクトルaとbは同一線上にある、またはベクトルaとbは線形に関連しています。そうでない場合、つまり、aがbに平行でない場合です。 、それはaと呼ばれ、bは線形独立です。
1.13、共面ベクトル
同じ平面に平行な3つ（または3つ以上）のベクトルは、共面ベクトルと呼ばれます。
空間内のベクトルには、次の2つの位置関係しかありません。（1）同一平面上、（2）同一平面上ではありません。
注：共面性について話すことができるのは3つ以上のベクトルのみであり、共面性について話すことはできません。
1.14、法線ベクトル
法線ベクトルは、空間解析幾何学の概念です。平面に垂直な直線で表されるベクトルは、平面の法線ベクトルです。法線ベクトルは解析幾何学に適しています。既知の平面に垂直な空間には無数の直線があるため、平面には無数の法線ベクトル（2つの単位法線ベクトルを含む）があります。
2、ベクトルの加算と減算
ベクトルの加算、減算、およびベクトルと数値の乗算は、ベクトル線形演算と呼ばれます。
ベクトルは、幾何学的問題を代数的問題に変換するための架け橋であり、ベクトルの加算と減算は、代数的方法を使用して幾何学的演算を実行することです。ベクトルを加算および減算するには、いくつかの方法があります。
2.1、コンポーネントの加算と減算
ベクトルの加算と減算は、ベクトルの成分を加算および減算することです。ベクトルA（a1、a2、。。。、an）とベクトルB（b1、b2、。。。、bn）があるとすると、次のようになります。
向量A+向量B = (a1+b1,a2+b2,...,an+bn)
向量A-向量B = (a1-b1,a2-b2,...,an-bn)
2.2。頭から尾への接続方法（三角形の規則）
n次元空間のベクトルA1、A2、...、Anの場合、各ベクトルは、原点からn次元空間の対応するベクトル点までの有向線セグメントとして表されます。開始点は原点です。終点は、ベクトルに対応する座標点です。A1、A2、...、Anのベクトルを順番に追加すると、A1の対応する線分の位置は変更されず、他のベクトルの対応する線分の長さと方向は変更されませんが、変換は次のようになります。始点が前のベクトル線分の終点と一致する点に移動しました。これにより、追加されたすべてのベクトルが端から端まで接続され、線分が最終的な図の最後のベクトルの原点から終点まで接続されます。すべてのベクトルを追加した結果です。
2次元空間の場合、ベクトルA1 +ベクトルA2 +ベクトルA3のプロセスと結果を次の図の左側に示します。
上の図の右側に示すように、2つのベクトルのみが追加された場合、2つの追加されたベクトルと最終結果ベクトルは三角形を形成します。したがって、この方法はトライアングルルールとも呼ばれます。3つ以上のベクトルを追加する場合、1番目と2番目のベクトルを追加して得られた結果を3番目のベクトルに追加し、その結果を4番目のベクトルに追加できます。…以下同様に、最終結果が得られるまで続きます。
上記の方法は、ベクトルの合計を求めるためだけに使用されているようで、ベクトルの差は求められていません。実際、ベクトルの減算は、上記の方法でも実行できます。ベクトルの減算は、負のベクトルを加算するものと見なされ、負ベクトルの開始と終了とは反対側、すなわち、元のベクトルと同じであるが、矢印の反対方向に、下の図は、計算処理と三角形は、図の方法の結果が与えられます。向量A1+向量A2向量A1-向量A2
2.3。平行四辺形の規則
平行四辺形の規則は、2つの非ゼロの非共線ベクトルの加算と減算にのみ適用されます。
平行四辺形のルールは、ベクトルの加算方法を解決します。2つのベクトルを共通の開始点に変換し、ベクトルの2つの辺を使用して平行四辺形を作成すると、結果は共通の開始点の対角線になります。次の図は、2つのベクトルを加算した三角形の規則と平行四辺形の規則の比較を示しています。結果は同じであることがわかります。
平行四辺形の法則は、2つのベクトルを共通の開始点に変換し、ベクトルの2つの辺を使用して平行四辺形を作成するという、ベクトル減算の方法を解決します。結果は、減算されたベクトルの終点から減算されたベクトルの終点までです。次の図は、ベクトルの加算と減算の三角形ルール法と平行四辺形ルール法の計算プロセスと結果の比較を示しています。
上の2つの図の右側の線が破線に変更され、2つの原点が一致する場合、次の図が得られます
。2つの方法で得られた加算結果ベクトルは完全に重なり、減算ベクトルは平行四辺形の反対側ですが、開始点が異なります。
3、ベクトル乗算
3.1。定義
ベクトル乗算（ベクトルのスカラー倍算）は、実数と1種類のベクトル演算のベクトル、つまりベクトル乗算の数に関連付けられます。n個の等しい非ゼロベクトルaを加算して得られる合計ベクトルは、正の整数nとベクトルaの積と呼ばれ、naで表されます。
ベクトルを掛けた数の定義：ベクトルaを掛けた数m、結果はベクトルを掛けた数の積と呼ばれるベクトルmaであり、その係数は| m || a |、m> 0、maとaは同じ方向にあり、m <0の場合、maとaは逆になり、m = 0、0a = 0の場合。
この定義は、ベクトルをa | m |倍に引き伸ばし、mの符号によって方向を調整するかどうかを決定することとして視覚的に理解できます。
3.2。関連ルール
- ベクトルの数の乗算は、実際には加算の乗算表現であるため、mを乗算したベクトルの数は、ベクトルの各コンポーネントにmを乗算したものに等しくなります。
- 任意のベクトルa、bおよび任意の実数λ、μには、次の規則があります。
- 結合法則：λ（μa）=（λμ）a
- 最初の分布法則：（λ+μ）a =λa+μa
- 2番目の分布則：λ（a + b）=λa+λb。
4、まとめ
この記事では、ベクトル定義、ベクトル係数、負のベクトル、単位ベクトル、ゼロベクトル、ベクトルの加算と減算の3つの実装方法を紹介します。
参考資料：
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人工知能の数学的基礎の詳細について
は、「人工知能の基礎」の列のWebサイトを参照してください：https：//blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10382948.html
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